泊松分布的期望和方差

一、什么是泊松分布

泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在一定时间内某个事件发生的次数。

泊松分布的概率密度函数为：

  P(X=k)=  e^(-λ)*λ^k/k!    (k=0,1,2,...)

其中，λ是事件在单位时间内平均发生次数，k表示实际发生的次数。

二、泊松分布的期望

泊松分布的期望为λ，表示在单位时间内事件的平均发生次数。

证明：

  E(X)=∑(k=0,∞) k * P(X=k)
      =∑(k=1,∞) k * P(X=k)     //当k=0时，k乘以概率为0，故从1开始求和
      =∑(k=1,∞) k * e^(-λ) * λ^k / k!
      =λ * e^(-λ) * ∑(k=1,∞) [λ^(k-1) / (k-1)!]
      =λ * e^(-λ) * e^λ
      =λ

三、泊松分布的方差

泊松分布的方差为λ，与期望相等。

证明：

  Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2
        =∑(k=0,∞) k^2 * P(X=k) - λ^2    // 使用期望的计算公式
        =∑(k=1,∞) k^2 * P(X=k)
        =∑(k=1,∞) k * k * e^(-λ) * λ^k / k!
        =λ * e^(-λ) * ∑(k=1,∞) [(k-1+1) * λ^(k-1) / (k-1)!]
        =λ * e^(-λ) * [∑(k=1,∞) [(k-1) * λ^(k-1) / (k-1)!] + ∑(k=1,∞) [λ^k / (k-1)!]]
        =λ * e^(-λ) * [λ * ∑(k=0,∞) [(λ^k) / k!] + e^λ]
        =λ * e^(-λ) * [λ * e^λ + e^λ]
        =λ * (λ+1)
        =λ^2 + λ - λ^2
        =λ

四、代码示例

下面是使用Python实现泊松分布的期望和方差计算：

  import math
  
  # 计算泊松分布的期望
  def poisson_expectation(lamda):
    return lamda
  
  # 计算泊松分布的方差
  def poisson_variance(lamda):
    return lamda
  
  # 示例：
  print("泊松分布的期望：", poisson_expectation(3))
  print("泊松分布的方差：", poisson_variance(3))