本文目录一览：
- 1、c语言，随机产生正态分布，中心值为2，sigma为0.4
- 2、大爷大妈都能看懂的中心极限定理证明
- 3、出道题消遣一下
- 4、概率论与数理统计 第五章 大数定律及中心极限定理
- 5、用中心极限定理求概率
- 6、中心极限定理φ需要四舍五入吗
c语言，随机产生正态分布，中心值为2，sigma为0.4
#include math.h
#include stdlib.h
#include time.h
#include stdio.h
#define pi 3.1415926535897
// 区间[min,max]上的均匀分布,min和max要求传入的参数类型一致
template class T
T rand(T min, T max)
{
return min + (max - min) * rand() / (RAND_MAX + 1.0);
}
// 求均值为miu，方差为sigma的正太分布函数在x处的函数值
double normal(double x, double miu,double sigma)
{
return 1.0 / sqrt(2.0 * pi) / sigma * exp(-1.0 * (x - miu) * (x - miu) / (2.0 * sigma * sigma));
}
//按照矩形区域在函数值曲线上下位置分布情况得到正太函数x值
double randn(double miu, double sigma, double min , double max)
{
double x, y, dScope;
do
{
x = rand(min,max);
y = normal(x,miu,sigma);
dScope = rand(0.0, normal(miu,miu,sigma));
}
while(dScope y);
return x;
}
// 简单算法，实际结果和公式法差不多
#define rd (rand()/(RAND_MAX+1.0))
double randn(double miu, double sigma)
{
return (rd + rd + rd + rd + rd + rd + rd + rd + rd + rd + rd + rd - 6.0) * 0.5 * sigma + miu;
}
void main()
{
int i;
srand((unsigned)time( NULL ));
for (i = 0; i 128; i++)
{
printf("%f%c", randn(2.0, 0.4), (i % 8 == 7) ? '\n' : ' ');
}
printf("\n");
for (i = 0; i 128; i++)
{
printf("%f%c", randn(2.0, 0.4, 0.0, 4.0), (i % 8 == 7) ? '\n' : ' ');
}
printf("\n");
}
大爷大妈都能看懂的中心极限定理证明
title: 基于特征函数的林德伯格中心极限定理的证明
date: 2020-7-2 19:00:00
category: 高等概率论
Proof of Lindeberg-levy limit theorem based on characteristic function
0. 林德伯格-列维中心极限定理的介绍
设 为 独立同分布 的随机变量序列，且 。令 ，那么当 ，随机变量 依分布收敛 于服从 标准正态分布 的随机变量X，即
1. 引理（特征函数的定义及性质）
1.1 特征函数的定义如下式：
1.2 标准正态分布的概率密度函数（ p.d.f. ）及特征函数( c.f. )如下式:
1.3 独立变量和的特征函数等于每个随机变量特征函数的乘积
2. 基于特征函数的证明过程
令 独立同分布，且 。我们设 的特征函数为 ,则利用引理1.3有 的特征函数为 ,由高等数学的极限理论可知，当 ，有 .
接下来的事情就很简单了，于0点处进行Taylor展开
把特征函数于0点的函数值 、一阶导的函数值、二阶导的函数值代入上式得到下式
对上式求n次幂，由于 ,则有 的极限为 ,这恰好为标准正态分布的随机变量X的特征函数（引理1.2）。
根据特征函数的分布理论 的分布函数 依分布收敛 .
至此，证明完毕，当然证明过程没有先证明三个引理是十分不严谨的，不过问题不大，哈哈哈哈哈
本文作者:凌雷发布日期：2020.7.2更新日期：2020.7.2
出道题消遣一下
考虑使用中心极限定理
假设每笔生意是相互独立的，用X1，X2，…，X500表示500笔生意，E(Xi)=2,Var(Xi)=0.5
P{X1+X2+…+X500≤1024.625}
=P{1/(500^(1/2)*(0.5)^(1/2)) * (X1+X2+…+X500-1000)≤24.625/(500^(1/2)*(0.5)^(1/2))}
=Φ(1.55742) (标准正态分布）
所求概率为1-Φ(1.55742)=1-0.9403=0.0597
概率论与数理统计 第五章 大数定律及中心极限定理
概率论是研究大量试验后呈现出的统计规律性的一门理论。
数学中研究大量的工具是极限。
因此这一章学习概率论中的极限定理。
随着试验次数的增大，事件的 频率 逐步稳定到事件的 概率 。意味着随着试验次数的增多，在某种收敛意义下，频率的极限是概率。大数定律解释了这一结论。
首先介绍切比雪夫不等式。
随机变量 的取值总是围绕着其期望变动，若 的分布已知时，可以计算事件 的概率。
切比雪夫不等式 ：
当随机变量 的分布未知时，可由 的观测数据估计得到 的期望和方差，然后使用切比雪夫不等式估计 关于 的偏离程度。
随机变量序列 即由随机变量构成的一个序列。不能用类似定义数列极限的方式定义随机变量序列的极限，因为序列中的每一个元素 是随机变量，取值不确定，不可能和一个常数c的距离任意小。
只能说某个事件 发生的频率 收敛到 的概率 。
依概率收敛 的定义：
定理2 ：
三个大数定律：切比雪夫大数定律、辛钦大数定律和伯努利大数定律。注意这三个大数定律的条件有何异同。
定理3 切比雪夫大数定律 ：
若 随机变量序列相互不相关 ， 方差存在且一致有上界 ，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。
定理4 相互独立同分布的大数定律（辛钦大数定律） ：
辛钦大数定律为 算术平均值法则 提供了理论依据。
伯努利大数定律 ：
伯努利大数定律是相互独立同分布大数定律的特例，限定分布为两点分布。
伯努利大数定律体现了：随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到时间的概率，这里的稳定即为依概率收敛。
伯努利大数定律的直观意义：
试验次数足够多，可用频率作为概率的估计。
三个大数定律的条件是不同的，它们的条件关系如图所示。
大数定律在实际中有许多重要应用，除了算术平均值法则、用频率估计概率，还有数理统计中参数的点估计思想等。
自然界中有许多随机现象可以用正态分布或近似正态分布来描述，这是为何？中心极限定理揭示了其中的奥秘。
中心极限定理是 相互独立的随机变量之和用正态分布近似 的一类定理。首先介绍最为著名的相互独立同分布情形下的中心极限定理，又称为 列维-林德伯格中心定理 。
**定理1 列维-林德伯格中心极限定理（相互独立同分布）
定理的条件要求随机变量相互独立并且服从同一分布。
还有更为一般的结论：只要随机变量相互独立，每个随机变量对和的影响都是微笑的，哪怕它们的分布类型不同，其和标准化后都有标准正态的极限分不。
中心极限定理的直观意义：
中心极限定理在实际应用中有如下三种形式：
定理2 （棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理） ：二项分布的正态近似。
中心极限定理的结论更为细致：
中心极限定理是随机变量和的分布收敛到正态分布的一类定理。不同的中心极限定理的差异就在于对随机变量序列做出了不同的假设。
大数定律是保险业保险费计算的科学理论基础。当承保标的数量足够大时，由切比雪夫大数定律知，被保险人缴纳的纯保费与其能获得赔款的期望值是相等的。
用中心极限定理求概率
（1）设售出的第i只蛋糕的价格为X(i)，则E(x(i))=0.3+0.24+0.75=1.29，
D(X(i))=0.0489.
根据独立同分布的中心极限定理，Y=X(1)+...+X(300)近似服从正态分布N(387,14.67)，所以
收入至少400元的概率为P(Y=400) = 1-F((400-387)/3.83)=1-F(3.394)=1
(2)若售出第i只蛋糕为1.2元则让Z(i)=1，否则Z(i)=0
那么Z(i)服从0-1分布。记U=Z(1)+...+Z(300)，则U~B(300,0.2)
根据中心极限定理U近似服从正态分布N(60,48)
所以售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率为
P(U=60)=0.5
中心极限定理φ需要四舍五入吗
3.4 中心极限定理

flyingczx
nothing
来自专栏概率学习笔记
中心极限定理与大数定律不同，其描述的是随机变量和的弱收敛情况. 但不同的是中心极限定理告诉我们，如果考虑弱收敛，所有随机变量和最终会趋于正态分布，这就体现出了其强大之处.
我们先从最传统的角度来理解中心极限定理.
Theorem 3.4.1 (De Moivre-Laplace定理) 若一列独立同分布的随机变量列  满足  ，记部分和  ，则对两实数  有 
proof : 由题设可知，  服从参数为n和1/2的二项分布，首先关注下标为偶数的情形.  .
由Stirling公式  . (其中"  "表示等价无穷小)
首先估计组合数：

于是

观察题设，我们需要分析  下  的分布情况. 当  时，
 .
类似地有  .
另外  . (这是因为  时，  )
即是说  时，  .
于是  令  ，得到  ，其中  ，  . 此时令  ，  . (这是因为  ，根据黎曼积分的定义之上式成立. ) 另一方面，由题设，  ，不影响序列的收敛性，故命题成立.
Remark : De Moivre-Laplace定理是利用传统的分析方法对二项分布进行逼近，它是中心极限定理的雏形，它的出现甚至比现代概率论要早得多.
下面我们将介绍更一般的中心极限定理：
Theorem 3.4.2 (中心极限定理) 若独立同分布的随机变量列  满足  ，  . 令  ，则  ，其中  服从标准正态分布.
proof : 不妨考虑  的情况. (否则可以令  ) 利用特征函数的性质，任意  的特征函数  . 于是  的特征函数  . 上式中令  ，得到特征函数的极限为  ，其正好就是标准正态分布的特征函数，由连续性定理，命题得证.
Remark : 虽然特征函数是复值函数，但其在上述定理中用到的收敛性质还是与实函数相近的，感兴趣的可以查看复分析相关教材.
中心极限定理说明，任何独立同分布的随机变量列，它们的和都弱收敛到正态分布，且参数只依赖于分布的期望和方差. 如此一来，在估计大量数据时，这一定理就非常有用.
下面介绍中心极限定理的一个推广结论：
Theorem 3.4.3 (Lindeberg-Feller定理) 对任意  ，有相互独立的随机变量列  ，其中  ，  . 若
(1)  ;
(2) 对任意的 ，  .
则  .
proof :  对应的特征函数  ，令  ，由连续性定理，只需证  .
在正式证明这点前，先证明一个结论：  .
记  ，分别考虑n阶和n+1阶Lagrange余项，即存在  使得  ，  .
代入不等式左边，由于  ，易得结论成立.
于是，由Jensen不等式，

下面记  ，  .
根据上面的结论可得，对任意  
于是，由题设(2)
由于  是任意的，于是  .
利用数学归纳法容易证得  .
即是说 
利用等价无穷小，结合(1)，求得上面等式右边就是  . 于是命题得证.
Remark : Lindeberg-Feller定理说明大量足够小的独立随机变量总和的分布近似于正态分布，或者直观地认为，独立的微小随机扰动总和总是趋于正态分布. 事实上，如果令  ，中心极限定理是Lindeberg-Feller定理的直接推论.
下面介绍中心极限定理在理论方面的一个应用，回顾一下2.5节中的Kolmogorov三级数定律，文中只给出了充分性的证明，本篇将给出必要性的证明：
Theorem 2.5.10 (Kolmogorov三级数定律) 若  独立，取  ，令  ，则 几乎处处收敛当且仅当：
(1)  ；(2)  ；(3)  同时成立.
proof : 充分性在第二章中已经给出，下面证明必要性.
反设(1)不成立，即存在  使得 .
由第二B-C引理，  ，即是说有无穷多个  使得  .
故  不几乎处处收敛，矛盾.
反设(1)成立而(3)不成立，记  ，  . 则有  ，  . 且对任意的  时，由(1)，上述和为0.)
由Lindeberg-Feller定理，记  ，有  弱收敛于标准正态分布.
由题设，反设  收敛，于是  也收敛，由于假设了(3)不成立，  . 于是有  . 结合上面证得  弱收敛于标准正态分布，有  弱收敛于标准正态分布，但它是常数，这不可能，矛盾.
最后，反设(1)(3)成立而(2)不成立，由Theorem 2.5.9，  几乎处处收敛.
由题设，反设  收敛，于是  也收敛，所以  也收敛，即(2)必然成立，矛盾.
中心极限定理充分说明了正态分布在概率论中的重要性. 在某些条件下，随机变量和有时候不一定弱收敛到正态分布. 下篇，我们将观察一种收敛到泊松分布的随机变量列，它帮助我们更好地了解泊松分布.
