模拟退火算法Matlab

一、算法概述

模拟退火算法（Simulated Annealing）是一种全局优化方法，其基本原理来自固体退火过程。其主要思想是在优化的过程中引入随机因素，以克服其他算法容易陷入局部最优解的缺陷。算法运用概率思想，在状态空间中随机游走，在不同状态之间跳跃，以达到全局最优。该算法目前已经被广泛应用于图形优化、图像处理等领域。

二、算法流程

1、初始化初始状态，温度和停止温度。

2、根据算法要求，计算初始状态对应的函数值。

3、在当前温度下，随机选择当前状态（x0）的一个相邻状态（x1）进行变化。

4、计算状态权值函数的差值（ΔE），如果ΔE < 0，接受这个状态变化，令x1成为下一步的起始状态，转到步骤 2；否则以概率 exp（-ΔE/T）接受该状态变化并转到步骤 2。

5、根据退火计划（降温时间表），使温度降低，返回步骤 3,直到温度降低到停止温度。

6、输出最佳状态和对应的函数值。

三、算法参数

该算法主要有以下参数：

1、起始温度T0：表示算法开始时的温度。（T0通常是函数值差值的标准差）。

2、停止温度Tend：表示算法结束时的温度。

3、降温温度函数：表示温度如何降低的函数。通常用指数函数 Tn=αTn−1 ，α是退火系数。

4、操作路径：表示每个方向上需要搜索的步长。

5、状态选择：表示当前状态选择相邻状态的方法。这些方法包括：随机选择、选择一个最接近状态等

四、算法示例代码

%模拟退火函数实现
function [xmin,fmin] = simulatedannealing(fun,x0,T0,Tend,alpha,numIter)
x = x0;
T = T0;
f = feval(fun,x);
xmin = x;
fmin = f;
n = length(x0);
for i = 1:numIter
   %计算温度
   T = alpha*T;
   
   %寻找新状态并计算函数差值
   xn = x + randn(n,1);
   fn = feval(fun,xn);
   df = fn-f;
   
   %如果状态更优，接受新状态
   if df < 0
        x = xn;
        f = fn;
   
    %否则以概率接受新状态
   else
       p = exp(-df/T);
       r = rand;
        if r < p
            x = xn;
            f = fn;
        end
   end
   
   %更新最优解
   if fmin > f
       xmin = x;
       fmin = f;
   end
   
   %如果温度小于结束温度，算法停止
   if T < Tend
       break;
   end
end

五、应用案例

模拟退火算法可以用于求解各种函数的全局最优化值和图像处理的优化等问题。下文举例说明：

六、案例一：寻找单峰函数最优解

首先随机生成一个单峰函数，然后用模拟退火算法寻找全局最优解。以下是Matlab代码的示例：

%生成随机函数
x = linspace(-10,10,200);
y = exp(-x.^2)+0.2*randn(size(x));

%费用函数定义
global yy
yy = y;
fun = @cost;

%模拟退火算法
numIter = 20000;
x0 = 10*randn(1);
T0 = std(y);
Tend = 0.01;
alpha = 0.99;
[xmin,fmin] = simulatedannealing(fun,x0,T0,Tend,alpha,numIter)

%费用函数计算
function f = cost(x)
    global yy
    f = sum((yy-exp(-x^2)).^2);
end

%结果绘图
figure;
plot(x,y,'r');
hold on;
plot(xmin,exp(-xmin.^2),'ko');
title(['最优解：',num2str(xmin),'，最优值：',num2str(fmin)]);
xlabel('x');
ylabel('y');

七、案例二：图像优化

模拟退火算法也可以用于图像优化中求解全局最小值。以下是Matlab代码的示例：

%读入图像
img = imread('img.png');

%定义目标函数
global targetImg
targetImg = imread('target.png');
fun = @cost;

%参数设定和模拟退火算法
numIter = 5000;
x0 = [0,0];
T0 = 0.5;
Tend = 0.01;
alpha = 0.95;
[xmin,fmin] = simulatedannealing(fun,x0,T0,Tend,alpha,numIter);

%算法结果和绘图
out = imtranslate(img, -xmin, 'bilinear');
figure;
subplot(1,2,1);
imshow(img);
title('原图');
subplot(1,2,2);
imshow(out);
title(['移动距离：(',num2str(xmin(1)),', ',num2str(xmin(2)),') 最优值：',num2str(fmin)]);

%函数计算
function f = cost(x)
global targetImg
    out = imtranslate(targetImg,[x(2),x(1)],'bilinear');
    f = sum(sum(sum((out - img).^2)));
end

八、总结

模拟退火算法是一种全局最优化算法，可以用于求解各种函数和图像优化的问题。本文详细介绍了算法原理、流程、参数和应用案例。需要注意的是，该算法存在一定的随机性，因此需要根据具体问题设置好参数。其它全局最优化算法也可以作为参考，进行算法性能比较和选择。