引言
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的傅里叶变换算法，广泛应用于信号处理、图像处理以及数字信号处理等领域。Python中提供了numpy.fft模块用于计算快速傅里叶变换。
正文
一、FFT函数介绍
FFT函数是numpy.fft模块中最主要的函数之一。它的基本用法如下：
import numpy as np # 定义一个n个采样点的信号，采样周期为T T = 1/800.0 n = 800 t = np.linspace(0, n*T, n) x = np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*t) # 计算信号的快速傅里叶变换 y = np.fft.fft(x)
在上面的例子中，我们定义了一个采样周期为T，采样点数为n的信号x，并计算了其快速傅里叶变换y。在实际应用中，我们可以通过FFT函数计算信号的频谱密度、功率谱等特征。
二、FFT函数的参数说明
FFT函数的完整参数列表如下：
numpy.fft.fft(x, n=None, axis=-1, norm=None)
其中，x是要进行FFT变换的一维或多维数组；n是FFT变换的长度，如果不指定默认为x的长度；axis指定进行FFT变换的轴，默认为最后一个轴；norm指定归一化方式，默认不进行归一化。
三、FFT函数的应用
1. 信号滤波
在信号处理中，滤波是一种常用的技术，可以通过滤波消除信号中的噪声、干扰等。在FFT中，我们可以通过将信号进行傅里叶变换后，滤掉不需要的频率成分，再将变换之后的信号进行反变换，得到滤波之后的信号。
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 生成带噪声的信号 t = np.linspace(0, 1, 1000) x = np.sin(2*np.pi*15*t) + 0.5*np.sin(2*np.pi*40*t) xn = x + np.random.randn(len(x))*0.08 # 计算信号的快速傅里叶变换 y = np.fft.fft(xn) # 已知需要滤除的频率为40Hz，使用布特沃斯滤波器滤除其它频率成分 from scipy.signal import butter, lfilter b, a = butter(4, 2*30/1000.0, 'lowpass') yf = lfilter(b, a, y) # 计算滤波之后的信号，并进行绘图 xf = np.fft.ifft(yf) plt.plot(t, xn, 'b', label='With Noise') # 带噪声的信号 plt.plot(t, xf, 'r', label='Filtered') # 滤波之后的信号 plt.legend() plt.grid() plt.show()
2. 信号分析
在信号处理中，我们常常需要对信号进行频域分析，以便更好地理解信号的特征，提取有效信息。FFT提供了一种有效的手段，可以计算信号的频谱密度、功率谱等特征。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一段信号
T = 1/2000.0
n = 2000
t = np.linspace(0, n*T, n)
x = np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*t)
y = np.sin(80.0 * 2.0*np.pi*t)
z = x + y
# 计算信号的快速傅里叶变换
freqs = np.fft.fftfreq(len(z), T)
y = np.fft.fft(z)
# 计算信号的功率谱，并进行绘图
ps = np.abs(y)**2
idx = np.argsort(freqs)
plt.plot(freqs[idx], ps[idx])
plt.xlabel('Frequency')
plt.ylabel('Power Spectrum')
plt.show()
3. 图像处理
FFT可以应用于图像处理领域，例如图像去噪、图像增强、图像匹配等。对于二维图像，我们可以通过对每一行和每一列进行一次一维FFT变换，实现对图像进行二维FFT变换。
import numpy as np
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt
# 读取一张图像
img = cv2.imread("lena.png", 0)
# 对图像进行二维FFT变换
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))
# 将中心点移动到图像中心
rows, cols = img.shape
crow, ccol = rows/2, cols/2
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
img_back = np.real(img_back)
# 进行绘图
plt.subplot(131),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(132),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(133),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')
plt.title('Image after HPF'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
结论
FFT是一种重要的信号处理技术，广泛应用于多个领域。通过numpy.fft模块，我们可以方便地实现信号分析、图像处理等功能。
