正定矩阵的性质

一、定义

正定矩阵是指所有特征值都为正数的方阵。特征值是方阵在特征向量上的投影（即特征向量是矩阵进行线性变换后仍在原方向上的向量），而特征值的正负决定了矩阵进行变换后是否改变向量的方向。正定矩阵的定义可以简化为：矩阵所有正交向量的内积都是正数。

二、性质1：正定矩阵的二次型

正定矩阵在数学中有很多应用，其中之一就是它们与二次型有关。二次型是一个二次多项式，表示为 $x^T A x$，其中 $x$ 是一个 $n$ 维向量，$A$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵。正定矩阵定义了一个正定的二次型，他的值在极值处为正。更具体地，一个二次型 $x^T A x$ 在 $x=0$ 处取得最小值0，而在其他地方的取值为正。

三、性质2：正定矩阵的逆矩阵

正定矩阵的逆矩阵依然是正定矩阵，具有同样的特征值。

import numpy as np

# 构造一个正定矩阵
A = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 5, 6],
              [3, 6, 10]])

# 求矩阵的逆矩阵
A_inv = np.linalg.inv(A)

# 判断逆矩阵是否是正定矩阵
if np.all(np.linalg.eigvals(A_inv) > 0):
    print("A的逆矩阵是正定矩阵")
else:
    print("A的逆矩阵不是正定矩阵")

四、性质3：正定矩阵的实对称矩阵分解

任何一个正定矩阵 $A$ 均能表示为 $A=LL^T$，其中 $L$ 是一个下三角矩阵并且所有主对角线上的元素为正。这个分解的过程也被称为 Cholesky 分解。

import numpy as np

# 构造一个正定矩阵
A = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 5, 6],
              [3, 6, 10]])

# 进行Cholesky分解 
L = np.linalg.cholesky(A)

# 验证分解是否正确
assert np.allclose(np.dot(L, L.T), A)

五、性质4：正定矩阵的行列式

正定矩阵的行列式值是所有特征值的乘积，因此它是正数。换句话说，如果矩阵的行列式为零，则它不是正定矩阵。

import numpy as np

# 构造一个正定矩阵
A = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 5, 6],
              [3, 6, 10]])

# 计算行列式
det_A = np.linalg.det(A)
if det_A > 0:
    print("A 是正定矩阵")
else:
    print("A 不是正定矩阵")

六、性质5：正定矩阵的特征分解

正定矩阵具有正交对角线化的性质，可以进行特征分解为 $A = Q \Lambda Q^{T}$，其中 $Q$ 是一个正交矩阵，$\Lambda$ 是一个对角矩阵，包含矩阵 $A$ 的特征值。

import numpy as np

# 构造一个正定矩阵
A = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 5, 6],
              [3, 6, 10]])

# 进行特征分解
Q, L, Qt = np.linalg.svd(A)
eigvals = L**2

# 验证分解是否正确
assert np.allclose(np.dot(np.dot(Q, np.diag(eigvals)), Qt), A)

七、小结

正定矩阵是数学中一个非常重要的概念，在数值计算和优化等领域有广泛的应用。本文从正定矩阵的定义出发，逐步阐述了正定矩阵的几个重要性质，包括与二次型的关系、逆矩阵的性质、Cholesky 分解、行列式、特征分解等等。这些性质不仅有助于加深我们对正定矩阵的认识，而且也为我们解决实际问题提供了实用的工具。