SIR模型是一种常见的传染病传播模型，通常用于病毒、细菌等传染性疾病的研究。本文将从多个方面详细阐述SIR模型的Matlab代码。
一、模型介绍
SIR模型是一种基于微分方程的传染病传播模型，它假设人群可以分为三类：易感者(S)，感染者(I)和康复者(R)。每个人在单位时间内可与周围的人进行接触，接触后的传染过程可以看作是一个不可逆的生命过程。SIR模型的公式如下：
dS/dt = -βSI
dI/dt = βSI - γI
dR/dt = γI
其中，β表示传染的速率，γ表示康复的速率，S表示易感者的人数，I表示感染者的人数，R表示康复者的人数。
二、代码实现
为了更好地理解SIR模型的实现，我们将展示如下的Matlab代码片段：
function [T, Y] = SIR_model(beta, gamma, I0, N, tspan)
% 状态向量
Y0 = [N-I0; I0; 0];
% 求解微分方程
[T, Y] = ode45(@(t,y) ode(t, y, beta, gamma), tspan, Y0);
% 绘制结果
plot_results(T, Y, N);
end
function dy = ode(t, y, beta, gamma)
dy = zeros(3,1);
% 易感者
S = y(1);
% 感染者
I = y(2);
% 康复者
R = y(3);
% 微分方程
dS_dt = -beta*S*I;
dI_dt = beta*S*I - gamma*I;
dR_dt = gamma*I;
dy(1) = dS_dt;
dy(2) = dI_dt;
dy(3) = dR_dt;
end
function plot_results(T, Y, N)
% 绘制易感者、感染者、康复者的人数变化图
plot(T, Y(:, 1)./N, 'b-', 'LineWidth', 2); hold on;
plot(T, Y(:, 2)./N, 'r-', 'LineWidth', 2);
plot(T, Y(:, 3)./N, 'g-', 'LineWidth', 2);
% 加入标注和图例
xlabel('时间 (天)');
ylabel('人数 (占总人口的比例)');
title('SIR模型');
legend('易感者', '感染者', '康复者', 'Location', 'best');
end
在上述代码中，我们首先定义了一个函数SIR_model，该函数使用了ode45函数对微分方程进行求解，并调用plot_results函数生成SIR模型的结果图。在ode函数中，我们定义了一个dy函数，用于计算微分方程的结果。在plot_results函数中，我们使用了Matlab的绘图函数，生成易感者、感染者、康复者人数随时间变化的图表。
三、模型参数调节
SIR模型中，β和γ是两个关键参数，它们分别决定了传染的速率和康复的速率。在实际应用中，我们可以根据具体的疾病和人口数据对这两个参数进行调节。 例如，下面的代码展示了如何使用SIR_model函数模拟COVID-19疫情在不同β和γ参数下的传播趋势：
% 模拟COVID-19疫情传播
N = 6.5e7; % 人口总数
I0 = 50; % 初始感染人数
tspan = [0 365]; % 时间段
[T, Y] = SIR_model(0.3, 0.05, I0, N, tspan);
[T2, Y2] = SIR_model(0.6, 0.1, I0, N, tspan);
[T3, Y3] = SIR_model(1.2, 0.2, I0, N, tspan);
% 绘制结果
figure(1); clf;
plot(T, Y(:, 2)./N, 'r-', 'LineWidth', 2); hold on;
plot(T, Y2(:, 2)./N, 'g-', 'LineWidth', 2);
plot(T, Y3(:, 2)./N, 'b-', 'LineWidth', 2);
xlabel('时间 (天)');
ylabel('感染率 (占总人口的比例)');
title('COVID-19疫情传播趋势');
legend('\beta=0.3, \gamma=0.05', '\beta=0.6, \gamma=0.1', '\beta=1.2, \gamma=0.2', 'Location', 'best');
在本代码中，我们根据模拟实验进行了三次运算，分别代表了传染速率低、中、高的三种情况。通过比较三种情况的感染者人数随时间变化的图表，我们可以看出当β和γ增大时，感染者人数的增长速度也会随之增大。
四、结论
本文从模型介绍、代码实现、模型参数调节三个方面详细阐述了SIR模型的Matlab代码。通过对该模型的实现与分析，我们可以更好地理解传染病的传播规律，对防控传染病具有重要意义。
