神经网络是一个被广泛运用于图像识别、语音识别、自然语言处理等领域的机器学习模型。然而，神经网络中原始的线性模型缺乏处理非线性关系的能力，这意味着不同特征之间的混合效应无法被捕捉到。因此，在神经网络中引入非线性是至关重要的。
一、激活函数
激活函数是神经网络中引入非线性的最基础的方法之一。前面我们提到，线性模型可以处理每个特征的影响，但是无法捕捉特征之间的协同关系。而激活函数不仅在单个神经元内引入了非线性，同时也使得不同神经元之间出现非线性交互。因此，如果没有激活函数，神经网络将仍然是一个线性模型。
下面是一个使用Sigmoid作为激活函数的代码示例：
def sigmoid(x):
return 1 / (1 + np.exp(-x))
def sigmoid_derivative(x):
return sigmoid(x) * (1 - sigmoid(x))
class NeuralNetwork:
def __init__(self, num_inputs, hidden_layers_sizes, num_outputs):
self.weights = []
prev_layer_size = num_inputs
for layer_size in hidden_layers_sizes:
w = np.random.rand(prev_layer_size, layer_size)
self.weights.append(w)
prev_layer_size = layer_size
w = np.random.rand(prev_layer_size, num_outputs)
self.weights.append(w)
def feedforward(self, inputs):
a = inputs
for w in self.weights:
z = np.dot(a, w)
a = sigmoid(z)
return a
inputs = np.array([1, 2, 3])
network = NeuralNetwork(3, [4, 5], 2)
output = network.feedforward(inputs)
print(output)其中，新建了一个NeuralNetwork类，用于描述具有三个输入，两个输出的多层感知机模型，并且hidden_layers_sizes参数表示隐藏层有4个神经元和5个神经元，使用sigmoid函数作为激活函数。
二、卷积神经网络
卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）是一种使用卷积方式进行特征提取的神经网络。卷积操作可以看成是一种局部的操作，在一定程度上采集的只是特征的一部分信息，因此在网络中引入了非线性。此外，池化操作等也可以看成是一种非线性变换，通过降维和筛选等操作强化了特征的表达力。
下面是一个简单的卷积神经网络的代码实现（这里使用MNIST数据集）：
from keras.datasets import mnist
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Conv2D, MaxPooling2D, Flatten, Dense
from keras.utils import np_utils
(x_train, y_train), (x_test, y_test) = mnist.load_data()
x_train = x_train.reshape(x_train.shape[0], 28, 28, 1) / 255.0
x_test = x_test.reshape(x_test.shape[0], 28, 28, 1) / 255.0
y_train = np_utils.to_categorical(y_train, 10)
y_test = np_utils.to_categorical(y_test, 10)
model = Sequential()
model.add(Conv2D(32, (3, 3), activation='relu', input_shape=(28, 28, 1)))
model.add(MaxPooling2D(pool_size=(2, 2)))
model.add(Conv2D(64, (3, 3), activation='relu'))
model.add(MaxPooling2D(pool_size=(2, 2)))
model.add(Flatten())
model.add(Dense(128, activation='relu'))
model.add(Dense(10, activation='softmax'))
model.compile(loss='categorical_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy'])
model.fit(x_train, y_train, batch_size=32, epochs=10, verbose=1, validation_data=(x_test, y_test))在此代码片段中，使用Keras工具包和MNIST数据集搭建了一个简单的卷积神经网络，并且使用relu函数作为激活函数。网络结构包括两层卷积、两层池化和两层全连接。
三、递归神经网络
递归神经网络（Recurrent Neural Network，RNN）是一种能够利用序列信息的神经网络。由于它们的结构中包含一个或多个循环层，所以可以捕获时间序列中的非线性关系，从而引入了非线性。在许多自然语言处理任务中，包括语音识别和文本生成等，递归神经网络是非常流行的选择。
下面是一个简单的用于文本生成的递归神经网络的代码实现（这里使用Shakespeare数据集）：
import numpy as np
from keras.layers import Dense, Activation, LSTM
from keras.models import Sequential
from keras.optimizers import RMSprop
from keras.utils.data_utils import get_file
path = get_file('shakespeare.txt', origin='https://storage.googleapis.com/download.tensorflow.org/data/shakespeare.txt')
text = open(path).read().lower()
print('corpus length:', len(text))
chars = sorted(list(set(text)))
print('total chars:', len(chars))
char_indices = dict((c, i) for i, c in enumerate(chars))
indices_char = dict((i, c) for i, c in enumerate(chars))
maxlen = 40
step = 3
sentences = []
next_chars = []
for i in range(0, len(text) - maxlen, step):
sentences.append(text[i: i + maxlen])
next_chars.append(text[i + maxlen])
print('nb sequences:', len(sentences))
x = np.zeros((len(sentences), maxlen, len(chars)), dtype=np.bool)
y = np.zeros((len(sentences), len(chars)), dtype=np.bool)
for i, sentence in enumerate(sentences):
for t, char in enumerate(sentence):
x[i, t, char_indices[char]] = 1
y[i, char_indices[next_chars[i]]] = 1
model = Sequential()
model.add(LSTM(128, input_shape=(maxlen, len(chars))))
model.add(Dense(len(chars)))
model.add(Activation('softmax'))
optimizer = RMSprop(lr=0.01)
model.compile(loss='categorical_crossentropy', optimizer=optimizer)
model.fit(x, y, batch_size=128, epochs=10)该代码片段中，使用Keras搭建了一个只含有一个LSTM循环层的递归神经网络。该网络用于在莎士比亚文本数据集上进行训练，从而生成新的莎士比亚式的文本。
四、总结
在神经网络中引入非线性是非常重要的，它能够帮助我们在许多任务中获得更好的表现。本文中，我们介绍了三种引入非线性的方法：使用激活函数、卷积神经网络和递归神经网络。但是，这只是一个开始。未来如何引入更多的非线性将成为一个非常有趣的问题。
