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无约束最优化(二) 共轭方向法与共轭梯度法
之前文章 最速下降法、Newton法、修正Newton法 介绍的最速下降法存在锯齿现象，Newton法需要计算目标函数的二阶导数。接下来介绍的 共轭方向法 是介于最速下降法和Newton法之间的一种方法，它克服了最速下降法的锯齿现象，从而提高了收敛速度；它的迭代公式也比较简单，不必计算目标函数的二阶导数，与Newton法相比，减少了计算量和存储量。它是比较实用而有效的最优化方法。
我们先将其在正定二次函数 上研究，然后再把算法用到更一般的目标函数上。首先考虑二维的情形。
任选初始点 ，沿它的某个下降方向，例如向量 的方向，作直线搜索，如上图所示。由下面这个定理：
定理 ：设目标函数 具有一阶连续偏导数，若 ,则 。
知 。如果按照最速下降法选择的就是负梯度方向为搜索方向(也就是 方向)，那么将要发生锯齿现象。于是一个设想是，干脆选择下一个迭代的搜索方向 就从 直指极小点 ，也就是找到上图所示的 方向。
因为 从 直指极小点 ,所以 可以表示为：
其中 是最优步长因子。显然，当 时， 。到这里，我们还有一个已知条件没用，就是目标函数为二次正定，所以我们对目标函数求导，得到：
因为 是极小点，所以有:
将 带入上述方程式，有：
上式两边同时左乘 ，并注意到 和 ，得到 。这就是为使 直指极小点 ， 所必须满足的条件。并且我们将两个向量 和 称为 共轭向量 或称 和 是 共轭方向 。
由上面共轭梯度法那张图可以设：
上式两边同时左乘 ,得：
由此解出：
代回 得：
从而求到了 的方向。
归纳一下，对于正定二元二次函数，从任意初始点 出发，沿任意下降方向 做直线搜索得到 再从 出发，沿 的共轭方向 作直线搜索，所得到的 必是极小点 。到目前为止的共轭梯度法依旧是假设了目标函数是二次正定矩阵。
上面的结果可以推广到 维空间中，即在 维空间中，可以找出 个互相共轭的方向，对于 元正定二次函数从任意初始点出发，顺次沿着这 个共轭方向最多作 次直线搜索，就可以求到目标函数的极小点。
对于 元正定二次目标函数，如果从任意初始点出发经过 有限次迭代 就能够求到极小点，那么称这种算法具有 二次终止性 。例如，Newton法对于二次函数只须经过一次迭代就可以求到极小点，因此是二次终止的；而最速下降法就不具有二次终止性。共轭方向法（如共轭梯度法、拟Newton法等）也是二次终止的。
一般说来，具有二次终止性的算法，在用于一般函数时，收敛速度是较快的。
定义：设 是 对称正定矩阵。若 维向量空间中的非零向量 满足 ， 则称 是 共轭向量或称向量 是 共轭的（简称共轭）。
当 (单位矩阵)时 变为 ， 。即向量 互相正交 。由此看到，“正交”是“共轭”的一种特殊情形，或说，“共轭”是“正交”的推广。
下面介绍几个定理：
定理 ：若非零向量 是 共轭的，则线性无关。
推论 ：在 维向量空间中， 非零的共轭向量的个数不超过 。
定义 设 是 中的线性无关向量， 。那么形式为：
的向量构成的集合，记为 。称为由点 和向量 所生成的 线性流形 。
共轭方向法的理论基础是下面的定理。
定理 假设
(1) Q为 对称正定矩阵;
(2) 非零向量 是 共轭向量;
(3) 对二次目标函数 顺次进行 次直线搜索:
其中 是任意选定的初始点，则有：
i) ， ;
ii) 是二次函数 在线性流形 上的极小点。
这个定理看来较繁，但可借用直观的几何图形来帮助理解。 ， 的情形为例，如图示。
和 是Q共轭向量，张成了二维空间 ，这是过坐标原点的一个平面。 现在，过点 沿 方向作直线搜索得到 ，再过点 沿 方向作直线搜索得到 过点 由向量 和 张成的平面就是线性流形 。它是 的平行平面。
定理的论断是，最后一个迭代点 处的梯度 必与 和 垂直。并且 是三元二次目标函数 在线性流形 (即过 由 和 张成的平面)上的极小点。
共轭方向法算法的大体流程 就是：选定初始点 和下降方向向量 ，做直线搜索 。提供的梯度方向 使得 ， 。提供共轭方向的方法有多种。不同的提供方法将对应不同的共轭方法。每种方法也因产生共轭方向的特点而得名。
那么这里做直线搜索 中的 是如何确定的呢？这里我们先回顾一下在最速下降法中是如何计算这个 的。最速下降法：
依据定理 设目标函数 具有一阶连续偏导数，若 ,则 。，我们可以得到 。由此有：
由此，可求解出 :
这里还可以采用另外一种种方式计算 ，下面对另外一种方式进行公式推导：
由 ，用 左乘上式两边，然后再同时加上 ，利用 能够得到：
左乘 有
由此解出：
在最速下降法中 ，在共轭方向法中 。
在共轭方向法中，如果初始共轭向量 恰好取为初始点 处的负梯度 ，而其余共轭向量 由第 个迭代点 处的负梯度 与已经得到的共轭向量 的线性组合来确定，那么这个共轭方向法就称为 共轭梯度法 。
针对目标函数是正定二次函数来讨论：
(1) 第一个迭代点的获得 ：
选定初始点 ，设 (否则迭代终止)，因此 。取 ，（以下用 表示 ）从 出发沿 方向做直线搜索，得到第1个迭代点 ，其中 可由下式确定：
显然
(2) 第二个迭代点的获得 ：
设 ，因此 。由 知 与 线性无关。取 其中 是使 与 共轭的待定系数，令：
由此解出
并代回确定 ，并获得第2个迭代点。
由公式 可以求得 ，带入公式 可进一步优化得到：
(3) 第三个迭代点的获得 ：
设 ，因此 。由 知 与 线性无关。取 其中 是使 与 共轭的待定系数，令：
由此解出
并代回确定 ，并获得第3个迭代点。
其中
上述过程仅表明 与 ， 与 共轭，现在问， 与 也共轭吗？
(4) 第 个迭代点的获得 ：
由 知 与 线性无关。取 其中 是使 与 共轭的待定系数，令：
由此解出
并代回确定 ，并获得第k+1个迭代点。
其中
以上就是共轭梯度法得核心内容。
为使共轭梯度算法也适用于非二次函数，需要消去算法中的 对于正定二次函数，有 代入到 中，得：
此式中已不再出现矩阵 ，将 两端转置运算，并同时右乘 得：
将共轭方向法中的定理带入得到 ，由直线搜索的性质有 ，带入上式有 。此外：
带入 ，得到：
此式称为Fletcher－Reeves公式(1964年)。
神经网络中rprop是什么算法
对于bp神经网络来说没有固定的标准可以得到最好的bp网络，设计好后只能手动修改参数然后选择最好的。下边是个分类的例子
clc
clear
close all
%---------------------------------------------------
% 产生训练样本与测试样本，每一列为一个样本
P1 = [rand(3,5),rand(3,5)+1,rand(3,5)+2];
T1 = [repmat([1;0;0],1,5),repmat([0;1;0],1,5),repmat([0;0;1],1,5)];
P2 = [rand(3,5),rand(3,5)+1,rand(3,5)+2];
T2 = [repmat([1;0;0],1,5),repmat([0;1;0],1,5),repmat([0;0;1],1,5)];
%---------------------------------------------------
% 归一化
[PN1,minp,maxp] = premnmx(P1);
PN2 = tramnmx(P2,minp,maxp);
%---------------------------------------------------
% 设置网络参数
NodeNum = 10; % 隐层节点数
TypeNum = 3; % 输出维数
TF1 = 'tansig';TF2 = 'purelin'; % 判别函数(缺省值)
%TF1 = 'tansig';TF2 = 'logsig';
%TF1 = 'logsig';TF2 = 'purelin';
%TF1 = 'tansig';TF2 = 'tansig';
%TF1 = 'logsig';TF2 = 'logsig';
%TF1 = 'purelin';TF2 = 'purelin';
net = newff(minmax(PN1),[NodeNum TypeNum],{TF1 TF2});
%---------------------------------------------------
% 指定训练参数
% net.trainFcn = 'traingd'; % 梯度下降算法
% net.trainFcn = 'traingdm'; % 动量梯度下降算法
%
% net.trainFcn = 'traingda'; % 变学习率梯度下降算法
% net.trainFcn = 'traingdx'; % 变学习率动量梯度下降算法
%
% (大型网络的首选算法 - 模式识别)
% net.trainFcn = 'trainrp'; % RPROP(弹性bp)算法,内存需求最小
%
% 共轭梯度算法
% net.trainFcn = 'traincgf'; % Fletcher-Reeves修正算法
% net.trainFcn = 'traincgp'; % Polak-Ribiere修正算法,内存需求比Fletcher-Reeves修正算法略大
% net.trainFcn = 'traincgb'; % Powell-Beal复位算法,内存需求比Polak-Ribiere修正算法略大
% (大型网络的首选算法 - 函数拟合,模式识别)
% net.trainFcn = 'trainscg'; % Scaled Conjugate Gradient算法,内存需求与Fletcher-Reeves修正算法相同,计算量比上面三种算法都小很多
%
% net.trainFcn = 'trainbfg'; % Quasi-Newton Algorithms - BFGS Algorithm,计算量和内存需求均比共轭梯度算法大,但收敛比较快
% net.trainFcn = 'trainoss'; % One Step Secant Algorithm,计算量和内存需求均比BFGS算法小,比共轭梯度算法略大
%
% (中小型网络的首选算法 - 函数拟合,模式识别)
net.trainFcn = 'trainlm'; % Levenberg-Marquardt算法,内存需求最大,收敛速度最快
%
% net.trainFcn = 'trainbr'; % 贝叶斯正则化算法
%
% 有代表性的五种算法为:'traingdx','trainrp','trainscg','trainoss', 'trainlm'
%---------------------%
net.trainParam.show = 1; % 训练显示间隔
net.trainParam.lr = 0.3; % 学习步长 - traingd,traingdm
net.trainParam.mc = 0.95; % 动量项系数 - traingdm,traingdx
net.trainParam.mem_reduc = 10; % 分块计算Hessian矩阵(仅对Levenberg-Marquardt算法有效)
net.trainParam.epochs = 1000; % 最大训练次数
net.trainParam.goal = 1e-8; % 最小均方误差
net.trainParam.min_grad = 1e-20; % 最小梯度
net.trainParam.time = inf; % 最大训练时间
%---------------------------------------------------
% 训练与测试
net = train(net,PN1,T1); % 训练
%---------------------------------------------------
% 测试
Y1 = sim(net,PN1); % 训练样本实际输出
Y2 = sim(net,PN2); % 测试样本实际输出
Y1 = full(compet(Y1)); % 竞争输出
Y2 = full(compet(Y2));
%---------------------------------------------------
% 结果统计
Result = ~sum(abs(T1-Y1)) % 正确分类显示为1
Percent1 = sum(Result)/length(Result) % 训练样本正确分类率
Result = ~sum(abs(T2-Y2)) % 正确分类显示为1
Percent2 = sum(Result)/length(Result) % 测试样本正确分类率
Python怎么做最优化
一、概观scipy中的optimize子包中提供了常用的最优化算法函数实现。我们可以直接调用这些函数完成我们的优化问题。optimize中函数最典型的特点就是能够从函数名称上看出是使用了什么算法。下面optimize包中函数的概览：1.非线性最优化fmin -- 简单Nelder-Mead算法fmin_powell -- 改进型Powell法fmin_bfgs -- 拟Newton法fmin_cg -- 非线性共轭梯度法fmin_ncg -- 线性搜索Newton共轭梯度法leastsq -- 最小二乘2.有约束的多元函数问题fmin_l_bfgs_b ---使用L-BFGS-B算法fmin_tnc ---梯度信息fmin_cobyla ---线性逼近fmin_slsqp ---序列最小二乘法nnls ---解|| Ax - b ||_2 for x=03.全局优化anneal ---模拟退火算法brute --强力法4.标量函数fminboundbrentgoldenbracket5.拟合curve_fit-- 使用非线性最小二乘法拟合6.标量函数求根brentq ---classic Brent (1973)brenth ---A variation on the classic Brent（1980）ridder ---Ridder是提出这个算法的人名bisect ---二分法newton ---牛顿法fixed_point7.多维函数求根fsolve ---通用broyden1 ---Broyden’s first Jacobian approximation.broyden2 ---Broyden’s second Jacobian approximationnewton_krylov ---Krylov approximation for inverse Jacobiananderson ---extended Anderson mixingexcitingmixing ---tuned diagonal Jacobian approximationlinearmixing ---scalar Jacobian approximationdiagbroyden ---diagonal Broyden Jacobian approximation8.实用函数line_search ---找到满足强Wolfe的alpha值check_grad ---通过和前向有限差分逼近比较检查梯度函数的正确性二、实战非线性最优化fmin完整的调用形式是：fmin(func, x0, args=(), xtol=0.0001, ftol=0.0001, maxiter=None, maxfun=None, full_output=0, disp=1, retall=0, callback=None)不过我们最常使用的就是前两个参数。一个描述优化问题的函数以及初值。后面的那些参数我们也很容易理解。如果您能用到，请自己研究。下面研究一个最简单的问题，来感受这个函数的使用方法：f(x)=x**2-4*x+8，我们知道，这个函数的最小值是4，在x=2的时候取到。from scipy.optimize import fmin #引入优化包def myfunc(x):return x**2-4*x+8 #定义函数x0 = [1.3] #猜一个初值xopt = fmin(myfunc, x0) #求解print xopt #打印结果运行之后，给出的结果是：Optimization terminated successfully.Current function value: 4.000000Iterations: 16Function evaluations: 32[ 2.00001953]程序准确的计算得出了最小值，不过最小值点并不是严格的2，这应该是由二进制机器编码误差造成的。除了fmin_ncg必须提供梯度信息外，其他几个函数的调用大同小异，完全类似。我们不妨做一个对比：from scipy.optimize import fmin,fmin_powell,fmin_bfgs,fmin_cgdef myfunc(x):return x**2-4*x+8x0 = [1.3]xopt1 = fmin(myfunc, x0)print xopt1printxopt2 = fmin_powell(myfunc, x0)print xopt2printxopt3 = fmin_bfgs(myfunc, x0)print xopt3printxopt4 = fmin_cg(myfunc,x0)print xopt4给出的结果是：Optimization terminated successfully.Current function value: 4.000000Iterations: 16Function evaluations: 32[ 2.00001953]Optimization terminated successfully.Current function value: 4.000000Iterations: 2Function evaluations: 531.99999999997Optimization terminated successfully.Current function value: 4.000000Iterations: 2Function evaluations: 12Gradient evaluations: 4[ 2.00000001]Optimization terminated successfully.Current function value: 4.000000Iterations: 2Function evaluations: 15Gradient evaluations: 5[ 2.]我们可以根据给出的消息直观的判断算法的执行情况。每一种算法数学上的问题，请自己看书学习。个人感觉，如果不是纯研究数学的工作，没必要搞清楚那些推导以及定理云云。不过，必须了解每一种算法的优劣以及能力所及。在使用的时候，不妨多种算法都使用一下，看看效果分别如何，同时，还可以互相印证算法失效的问题。在from scipy.optimize import fmin之后，就可以使用help(fmin)来查看fmin的帮助信息了。帮助信息中没有例子，但是给出了每一个参数的含义说明，这是调用函数时候的最有价值参考。有源码研究癖好的，或者当你需要改进这些已经实现的算法的时候，可能需要查看optimize中的每种算法的源代码。在这里：https:/ / github. com/scipy/scipy/blob/master/scipy/optimize/optimize.py聪明的你肯定发现了，顺着这个链接往上一级、再往上一级，你会找到scipy的几乎所有源码！
共轭梯度法是什么？
共轭梯度法（Conjugate Gradient）是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息。
但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。
在各种优化算法中：
共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。
共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向d仅仅是负梯度方向与上一次迭代的搜索方向的组合，因此，存储量少，计算方便。
共轭梯度法的算法介绍
又称共轭斜量法，是解线性代数方程组和非线性方程组的一种数值方法，例如对线性代数方程组 Ax=ƒ, (1)式中A为n阶矩阵，x和ƒ为n维列向量,当A对称正定时,可以证明求(1)的解X*和求二次泛函
的极小值问题是等价的。此处(x,у)表示向量x和у的内积。由此，给定了初始向量x（0），按某一方向去求(2)式取极小值的点x(1),就得到下一个迭代值x(2),再由x(2)出发，求x(3)等等，这样来逼近x*。若取求极小值的方向为F在 x(k=1,2,…)处的负梯度方向就是所谓最速下降法，然而理论和实际计算表明这个方法的收敛速度较慢，共轭梯度法则是在 x(k-1)处的梯度方向r(k-1)和这一步的修正方向p(k-1)所构成的二维平面内，寻找使F减小最快的方向作为下一步的修正方向p(k),即求极小值的方向p（其第一步仍取负梯度方向）。计算公式为
再逐次计算(k=1,2,…)。可以证明当i≠j时，
从而平p(1),p(2)形成一共轭向量组;r(0),r(1),…形成一正交向量组。后者说明若没有舍入误差的话，至多 n次迭代就可得到(1)的精确解。然而在实际计算中,一般都有舍入误差，所以r(0),r(1),…并不真正互相正交，而尣(0)尣(1),…等也只是逐步逼近(1)的真解,故一般将共轭梯度法作为迭代法来使用。
近来在解方程组(1)时,常将共轭梯度法同其他一些迭代法结合作用。特别是对病态方程组这种方法往往能收到比较显著的效果。其方法是选取一对称正定矩阵B并进行三角分解，得B=LLT。将方程组(1)化为 hу=b, (3)
此处y=lTx,b=l-1ƒ,h=l-1Al-T,而
再对(3)用共轭梯度法，计算公式为
k=0,1,2,…)适当选取B，当B很接近A时，h的条件数较之A大大减小,从而可使共轭梯度法的收敛速度大为加快，由一些迭代法的矩阵分裂A=M -N，可选取M 为这里的B，例如对称超松弛迭代(SSOR)，强隐式迭代(SIP)等,这类方法常称为广义共轭梯度法或预条件共轭梯度法，它也可用于解代数特征值问题。
