一、介绍
Factorization Machine（FM）是一种用于分类和回归问题的机器学习算法，它在处理非常高维数据集时表现出色。FM将矩阵分解应用于特征交互，以此来学习特征之间的相关性。FM具有以下优点：
1. 可以处理高维稀疏数据集；
2. 相对于其他机器学习算法，FM的计算成本较低；
3. FM在不同领域和任务中都表现良好，如推荐系统、CTR预测和图像标记等。
二、基本原理
FM的核心思想是：将特征交互的权重表示为矩阵的积，其中特征矩阵的行代表样本，列代表特征，权重矩阵的行代表一个特征，列代表另一个特征。
假设我们的特征集合为X={x1,x2,...,xn}，对于每一个特征xi，我们可以将其表示为一个向量V(xi)∈Rk。对于每一对特征(xi,xj)，我们可以计算它们之间的交互权重，对应的特征向量乘积为V(xi)⊤V(xj)∈Rk×k。这个结果的意义是：通过特征矩阵的积，我们可以将xi和xj之间的相关性表示为一个k维向量。
接下来，FM将这个k维向量作为交互权重，在计算特定样本的时候，将xi和xj乘上这个交互权重得到一个值：xi⊤V(xi)⊤V(xj)xj。重复这个过程，得到所有特征之间的交互权重，并将它们相加得到预测结果。
import numpy as np
class FactorizationMachine():
def __init__(self, k, learning_rate=0.01, regularization=0.01):
self.k = k
self.lr = learning_rate
self.reg = regularization
def fit(self, X, y):
self.w0 = np.zeros((1,))
self.w = np.zeros((X.shape[1],))
self.V = np.random.normal(scale=1/self.k, size=(self.k, X.shape[1]))
for i in range(10):
y_pred = self.predict(X)
error = y - y_pred
self.w0 = self.w0 + self.lr * error.mean()
self.w = self.w + self.lr * (X.T @ error - self.reg * self.w)
for j in range(X.shape[0]):
self.V += self.lr * (error[j] * np.outer(X[j], np.sum(X[j] * self.V, axis=1)) - self.reg * self.V)
def predict(self, X):
linear_terms = X @ self.w + self.w0
interactions = np.sum((X @ self.V.T) ** 2 - X @ (self.V ** 2).T, axis=1) / 2
return linear_terms + interactions
三、超参数调整
在FM中有几个重要的超参数需要调整，主要有：k，学习率和正则化参数。k控制了交互向量的维数，过大的k会导致模型过拟合，而过小的k会导致模型欠拟合。调整学习率可以影响模型的更新速度和稳定性。使用交叉验证等技术，可以找到最优的超参数值。
from sklearn.model_selection import GridSearchCV
param_grid = {
'k': [10, 20, 30],
'learning_rate': [0.01, 0.1, 1],
'regularization': [0.01, 0.1, 1]
}
model = FactorizationMachine()
grid_search = GridSearchCV(estimator=model, param_grid=param_grid, cv=3, verbose=2)
grid_search.fit(X_train, y_train)
best_params = grid_search.best_params_
四、应用举例
FM在推荐系统中有广泛应用，它可以将用户和商品的特征进行交互，并学习出它们之间的相关性。下面是应用FM构建电影推荐系统的示例代码：
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer
# 加载数据
movies = pd.read_csv('movies.csv')
ratings = pd.read_csv('ratings.csv')
# 转化电影名为特征向量
cv = CountVectorizer()
X_movies = cv.fit_transform(movies['title']).toarray()
# 合并电影特征和用户评价
X = np.concatenate([X_movies, ratings['userId'].to_numpy().reshape(-1, 1)], axis=1)
y = ratings['rating'].to_numpy()
# 划分数据集并拟合模型
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
model = FactorizationMachine(k=20, learning_rate=0.01, regularization=0.1)
model.fit(X_train, y_train)
# 做出推荐
user_id = 1
user_features = np.zeros((1, X.shape[1]))
user_features[:, -1] = user_id
movie_ids = model.predict(user_features)[:, np.newaxis]
movie_ids = np.argsort(movie_ids, axis=0)[::-1][:10]
recommended_movies = movies.loc[movie_ids]['title'].to_numpy()
五、总结
通过对FM的介绍，我们了解了它的基本原理和优点。FM在处理高维数据集时表现出色，可以用于推荐系统、CTR预测和图像标记等任务中。对于FM的超参数调整，可以使用交叉验证等技术寻找最优值。最后，我们在一个电影推荐系统的应用中看到了FM的实际效果。
