一、为什么exp pi i被称为最美的公式
exp pi i = -1，这是一个简单的等式，也是一个神奇的等式。它将三个最重要的数学常数连接在了一起：自然对数的底数 e、圆周率 π、虚数单位 i。而更为神奇的是，这个等式不仅由三个著名的数学常数组成，而且这三个常数彼此之间还有一个如此简单而优美的联系。
在Python中计算exp pi i，我们需要使用cmath库来支持复数运算。
import cmath result = cmath.exp(cmath.pi * cmath.sqrt(-1)) print(result)
二、使用exp pi i绘制正弦曲线
正弦曲线是高中数学中经常学习到的一个重要的函数图像，而该函数被定义为：y = sin(x)。那么，是否有一种方法可以从exp pi i来表达sin(x)呢？答案是肯定的。通过欧拉公式，我们可以在复平面上通过exp pi i来绘制正弦曲线。
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 1000) y = np.sin(x) plt.plot(x, y, label='y=sin(x)') z = cmath.exp(1j*x) plt.plot(x, np.imag(z), label='imag(exp(ix))') plt.legend() plt.show()
三、解析复平面和欧拉公式
在前面的代码中，我们提到了“复平面”和“欧拉公式”。那么，什么是复平面？什么是欧拉公式？
复平面就是将复数作为坐标，在平面直角坐标系中绘制的图形。实数轴对应于复平面的 x 轴，而虚数轴对应于复平面上的 y 轴，因此，复数 z = x + yj 可以表示为一个有序对 (x, y)。
欧拉公式则给出了一个如此优美的等式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。它表明了复数 e^(ix) 在复平面上的几何意义，即 e^(ix) 对应于以原点为圆心、半径为 1、角度为 x 弧度的点。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-3, 3, 500), np.linspace(-3, 3, 500))
Z = np.exp(X + 1j*Y)
fig = plt.figure(figsize=(8,8))
plt.imshow(np.angle(Z), extent=[-3,3,-3,3], cmap='hsv')
plt.colorbar()
plt.title('Phase of e^(x+iy)')
plt.xlabel('Re(z)')
plt.ylabel('Im(z)')
plt.show()
四、将exp pi i应用于简单物理问题的计算
exp pi i 还能够应用于计算简单物理问题，例如计算表达波函数的复数形式。以简单的弦振动为例，在这种情况下，振动的形式为：y(x, t) = sin(kx - wt)，其中 w 表示角频率，t 表示时间。则表达波函数的复数形式为： f(x, t) = e^(i(kx-wt))。这个公式表明了在横向坐标方向为 k、时间为 t 的位置点上的波函数值，它在复平面上为 f(x, t) e^(i(kx-wt))，即圆心为 1，角度为 kx-wt 的点。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
T, X = np.meshgrid(np.linspace(-8, 8, 500), np.linspace(-8, 8, 500))
f = np.exp(1j*(X-T))
fig = plt.figure(figsize=(8,8))
plt.imshow(np.sqrt(np.real(f)*np.real(f) + np.imag(f)*np.imag(f)), extent=[-8,8,-8,8], cmap='hsv')
plt.colorbar()
plt.title('The magnitude of f(x, t) = exp(i(kx-wt))')
plt.xlabel('x (space)')
plt.ylabel('t (time)')
plt.show()
