一、介绍
平方根(square root)是高中数学中比较基础的概念之一,也是在实际应用中非常常见的运算之一。Python内置的math库中提供了对平方根进行近似计算的sqrt函数,但由于计算机在进行浮点数运算时存在着精度误差,所以在一些精度要求比较高的场景下,我们需要自己编写平方根代码以达到精准计算数字x的准确值的目的。
二、计算方法
计算平方根的最基本方法就是不断地使得近似值的平方逼近待求值,这个过程类似于二分查找。最开始的时候可以将待求值x作为近似值,即x = s。每次将近似值与x/近似值求平均数,得到下一个近似值。不断重复这个过程,直到符合精度或者迭代次数达到了上限。
def sqrt(x):
"""
计算数字x的平方根,精度要求1e-7
"""
if x == 0:
return 0
res = x
while abs(res * res - x) > 1e-7:
res = (res + x / res) / 2
return res
上面的代码中,初始近似值res被赋值为待求值x,while循环中每次将res与x/res求平均数,得到下一个近似值,并进行判断。在这个判断中,二者的平方差与精度要求1e-7进行比较,如果差距仍然较大,即近似值继续向待求值逼近,直到符合精度或者达到迭代次数上限。
三、优化方法
上面的算法是最基本的求解平方根的方法,但在实际应用中可能需要进行一些优化。这里介绍两种优化方法。
1. 牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种近似求解方程的方法,对于求平方根的问题,它的迭代公式如下:
xn+1 = (xn + a/xn)/2
其中,a为待求的数字,xn为第n个近似值。
在牛顿迭代法中,近似值的计算速度更快,通常情况下只需要数次迭代即可得到较为准确的结果。
def sqrt_newton(x):
"""
牛顿迭代法计算数字x的平方根,精度要求1e-7
"""
if x == 0:
return 0
res = x
while abs(res * res - x) > 1e-7:
res = (res + x / res) / 2
return res
2. 二分法
另一个求解平方根问题的方法是二分法,这个方法在计算平方根的时候表现不如迭代法,但在其他求解方程问题上可能会更为实用。二分法的大致思路如下:
如果x>=1,那么x的平方根不可能大于x/2,不可能小于0,因此我们可以从0~x/2采用二分法进行迭代。
如果x<1,那么x的平方根不可能大于x,不可能小于0,因此我们可以从0~x采用二分法进行迭代。
二分法的代码示例如下:
def sqrt_binary(x):
"""
二分法计算数字x的平方根,精度要求1e-7
"""
if x == 0:
return 0
left, right = 0, max(x, 1)
while left + 1e-7 < right:
mid = (left + right) / 2
if mid * mid < x:
left = mid
else:
right = mid
return left
四、总结
Python编写的平方根代码虽然不如内置的sqrt函数简单,但考虑到精度要求,自己编写代码时可以选择基本计算方法、牛顿迭代法或二分法等不同的计算方法,并根据实际情况进行优化。在实际应用中,还需要考虑到数据类型、运算速度等因素。掌握好求解平方根的方法,可以为我们在一些数学计算及相关问题的求解中提供很多方便。