C++实现高效阶乘计算

一、递归实现阶乘

递归是一种常见的计算阶乘的方法，它可以用简洁的代码来实现。递归实现阶乘的代码如下：

unsigned long long factorialRecursion(unsigned int n) {
    if(n == 0) {
        return 1;
    } else {
        return n * factorialRecursion(n-1);
    }
}

这里定义了一个函数factorialRecursion，该函数使用了递归方法来计算n的阶乘。当n=0时，返回1；否则，返回n * factorialRecursion(n-1)。

递归的思路很清晰简单，但是在计算大数阶乘时，会造成栈溢出的问题。因此，我们需要寻找其他更加高效的实现方法。

二、循环实现阶乘

循环是一种常用的计算阶乘的方法，也是比较高效的方式。循环实现阶乘的代码如下：

unsigned long long factorialLoop(unsigned int n) {
    unsigned long long result = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        result *= i;
    }
    return result;
}

这里定义了一个函数factorialLoop，该函数使用循环来计算n的阶乘。在循环过程中，通过result变量来保存阶乘结果。循环从1到n遍历，每次将i乘以result保存，最终返回result。

循环实现的阶乘计算方法不会产生栈溢出等问题，同时由于代码量较少，执行效率也比较高。

三、优化阶乘实现

在实际计算过程中，当计算的数较大时，循环计算的时间会变得很长。因此，我们需要寻找一些优化方法来减少计算时间。

3.1 质因数分解

质因数分解指的是将一个数分解为质因数的乘积，并利用质因数的性质计算出阶乘。例如10的阶乘可以表示为10! = 2^8 * 3^4 * 5^2 * 7。

这种方法的优点是可以大大减少计算的时间，但缺点则是需要先把数分解为质因数的乘积，这一计算也需要一定的时间。因此，该方法适用于计算大数阶乘。

unsigned long long factorial(unsigned int n) {
    int primes[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};
    int cnt = 8;
    unsigned long long result = 1;
    for(int i = 0; i < cnt; ++i) {
        int factor = primes[i];
        unsigned long long count = 0;
        while(factor <= n) {
            count += n / factor;
            factor *= primes[i];
        }
        result *= pow(primes[i], count);
    }
    return result;
}

上述代码中，我们先将待计算阶乘的数分解为质因数的乘积。然后，通过循环计算每个质因数出现的次数，并乘以相应的质因数的指数，最终返回阶乘结果。

3.2 斯特林公式

斯特林公式是一种计算阶乘的数学公式，可以用于计算大数阶乘。该公式的形式如下：

下面是使用斯特林公式计算阶乘的代码实现：

unsigned long long factorialStirling(unsigned int n) {
    double e = exp(1.0);
    return (unsigned long long)round(sqrt(2*M_PI*n) * pow(n/e, n));
}

上述代码中，函数factorialStirling使用了斯特林公式计算阶乘。其中，exp(1.0)表示以e为底数的指数函数，pow(n/e, n)表示n/e的n次方，round表示进行四舍五入操作。

四、总结

本文介绍了多种计算阶乘的方法，包括递归、循环、质因数分解和斯特林公式等方法。对于不同的问题，我们可以选择不同的方法进行计算。在实际编程中，我们需要综合考虑计算效率、精度和代码复杂度等因素，来选择最适合的方法。