本文目录一览：
- 1、皮亚诺曲线是什么
- 2、皮亚诺曲线怎么理解
- 3、如何构造皮亚诺曲线?
皮亚诺曲线是什么
皮亚诺曲线是曲线序列的极限，不是通常定义下的曲线。而是恰当选择函数，画出一条连续的参数曲线，当参数t在0、1区间取值时，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。 所以皮亚诺曲线是一条连续而又不可导的曲线。
皮亚诺曲线怎么理解
皮亚诺曲线是一种奇怪的曲线，只要恰当选择函数和由定义的一条连续的参数曲线，当参数t在0，1区间取值时，曲线将遍历单位正方形中所有的点，得到一条充满空间的曲线。 皮亚诺曲线是一条连续而又不可导的曲线。
一般来说，一维的东西是不可能填满2维的方格的。 但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例。
这说明我们对维数的认识是有缺陷的，有必要重新考察维数的定义。 这就是分形几何考虑的问题。 在分形几何中， 维数可以是分数叫做分维。
如何构造皮亚诺曲线?
皮亚诺曲线（非希尔伯特曲线）构造方法如下：
取一个正方形并且把它分出9个相等的小正方形，然后从左下角的正方形开始至右上角的正方形结束，依次把小正方形的中心用线段连接起来。
下一步把每个小正方形分成9个相等的正方形，然后上述方式把其中中心连接起来……将这种操作手续无限进行下去，最终得到的极限情况的曲线就可以填满整个平面。
希尔伯特曲线和实数的不可数性
1877年，康托给出了从一维到二维的一一映射。皮亚诺和希尔伯特分别于1890年和1891年给出了一种可以充满整个平面的曲线。
希尔伯特曲线由一个大正方形分成9个小正方形，再不断的把每个小正方形分成更小的正方形得到的边组成的曲线。这实际上是一个递归过程。
也可认为希尔伯特曲线是在上面基础上把小正方形的中心点连接起来得到的曲线。这两种表示方法在本节的讨论中并没有区别，在下面的过中位线作截线的过程中可以发现，这两种曲线与截线的交点是一一对应的。
以上内容参考来源：百度百科-皮亚诺曲线
