深入了解softmax和sigmoid

一、sigmoid函数

sigmoid函数是一种常见的非线性函数，在神经网络和深度学习中具有重要作用。

sigmoid函数的数学表示为：

$$ \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $$

其中，x为输入值。

在神经网络中，sigmoid函数通常用于将输入值映射到一个介于0到1之间的范围内，这被称为概率分布。

sigmoid函数的导数公式为：

$$ \sigma^{'}(x) = \sigma(x)(1-\sigma(x)) $$

通过这个公式，我们可以计算任何一个sigmoid函数的导数。

二、softmax函数

softmax函数是一种常见的函数，它将一个实向量映射成一个归一化的概率分布。在深度学习中，softmax函数通常用于多分类问题。

假设我们有一个实向量z，它的每个元素表示某个类别的分数，那么softmax函数的数学表示为：

$$ \sigma(z)_i = \frac{e^{z_i}}{\sum_{j=1}^k e^{z_j}} $$

其中，i表示第i个元素，j表示全部k个元素。

我们可以看出，softmax函数将每个元素的分数通过exponential运算，将他们归一化为概率分布。

softmax函数的导数公式为：

$$ \frac{\partial \sigma(z)_i}{\partial z_j} = \sigma(z)_i ( \delta_{ij} - \sigma(z)_j) $$

其中，δ为Kronecker delta符号，当i=j时为1，否则为0。

三、sigmoid函数与softmax函数的区别

sigmoid函数是一种一维的函数，常用于将一个实数映射到一个介于0到1之间的范围内。

而softmax函数则更常用于多分类问题，将一个实向量映射成一个概率分布。

此外，两者的形式有所不同，sigmoid函数只有一个输入，而softmax函数有多个输入。

四、代码实现

sigmoid函数代码示例:

def sigmoid(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

def sigmoid_derivative(x):
    sig = sigmoid(x)
    return sig * (1 - sig)

softmax函数代码示例:

def softmax(x):
    exps = np.exp(x)
    sum_exps = np.sum(exps, axis=1, keepdims=True)
    return exps / sum_exps

def softmax_derivative(x):
    s = softmax(x)
    return s * (1 - s)

五、小结

本文介绍了sigmoid函数和softmax函数。我们了解了它们各自的特点和数学公式，同时介绍了它们在神经网络和深度学习中的应用。

最后，我们还提供了函数的Python代码实现，以便读者可以更好地理解它们的功能和用法。