Python实现Softmax函数

介绍

机器学习领域中的softmax函数，是用于将一个向量转换为概率分布的函数。在神经网络里，常常被用于将神经网络的输出转化为对应的概率分布，常用于多分类问题中。

因为softmax函数涉及到指数运算，可能会存在数值精度问题。同时，对于大部分深度学习框架而言，都已经自带了softmax函数的实现。但是，手写的softmax函数的实现可以更好地加深对softmax函数的理解，也有助于深入理解其数学原理。

数学原理

softmax函数的公式如下：

def softmax(x):
    return np.exp(x) / np.sum(np.exp(x), axis=0)

其中exp表示指数函数，x是输入的向量。softmax函数的输出是一个与x等长的概率分布向量。对于其中的每个值，都代表了该类别的概率。

softmax函数的计算过程分为以下几个步骤：

1. 将输入的向量x的每个元素取指数exp(x)
2. 将向量每个元素与整个向量元素的和做除法
3. 输出结果为一个概率分布向量

实现细节

在手写softmax函数时，需要考虑到数值稳定性的问题，这是由于指数函数的极限增长性质。当向量元素绝对值较大时，exp()的结果会非常大，可能会越出计算机的表示范围，从而导致溢出问题。若采用浮点数表示，同时当x的每个元素渐近于负无穷大时，exp()的结果会趋近于0，从而导致下溢问题。

为了避免以上的问题，通常采用以下两种处理方式：

1. 最简单的做法是减去输入向量中的最大值max(x)，即softmax(x) = softmax(x - max(x))，这保证了决不会发生上溢。同时，将所有的x减去同一个值不影响softmax的输出结果。
2. 另一种常用方法是使用log-sum-exp技巧。这种方法可以避免指数函数溢出，同时也可避免取指数造成的下溢问题。其公式如下：

def softmax(x):
    x = x - np.max(x)
    exp_x = np.exp(x)
    return exp_x / np.sum(exp_x, axis=0)

def softmax_ls(x):
    x = x - np.max(x)
    log_sum_exp = np.log(np.sum(np.exp(x)))
    return x - log_sum_exp

小结

softmax函数在机器学习中有着非常广泛的应用，特别是在分类方面。手写实现softmax函数有助于加深对其数学原理的理解，同时也能更好地理解其在概率分布方面的作用。在实现时，我们需要特别注意数值精度的问题，可以采用log-sum-exp技巧或者对输入向量进行平移以保证数值的稳定性。