扩展卡尔曼滤波算法

一、基本概念

扩展卡尔曼滤波算法（EKF）是一种非线性滤波算法，是卡尔曼滤波算法的扩展版本。EKF是一种递归估计的滤波算法，用于从不完全或噪声干扰的测量中提取状态信息。

EKF的基本原理是通过对非线性状态方程的线性化，对卡尔曼滤波算法进行扩展，以适应非线性系统。EKF通常应用于机器人、导航和机械控制等领域。

二、算法流程

EKF算法主要分为两个步骤：预测和更新。

1. 预测

在预测步骤中，我们使用状态方程和控制输入来预测状态。假设我们有一个非线性状态方程：

x(k) = f(x(k-1), u(k-1)) + w(k-1)

其中，x是状态向量，u是控制输入，w是过程噪声。我们对f进行泰勒展开，并将一阶项保留：

x(k) ≈ F(k-1)x(k-1) + B(k-1)u(k-1) + w(k-1)

其中，F是状态转移矩阵，B是控制输入矩阵。我们还需要计算过程协方差矩阵：

P(k|k-1) ≈ F(k-1)P(k-1|k-1)F(k-1)^T + Q(k-1)

其中，P是协方差矩阵，Q是过程噪声协方差矩阵。最后，我们得到预测的状态向量和协方差矩阵：

x(k|k-1) = F(k-1)x(k-1) + B(k-1)u(k-1)
P(k|k-1) = F(k-1)P(k-1|k-1)F(k-1)^T + Q(k-1)

2. 更新

在更新步骤中，我们使用观测模型和观测向量来更新预测状态。假设我们有一个非线性观测方程：

z(k) = h(x(k)) + v(k)

其中，z是观测向量，v是观测噪声。我们对h进行泰勒展开，并将一阶项保留：

z(k) ≈ H(k)x(k) + v(k)

其中，H是观测矩阵。我们还需要计算观测协方差矩阵和卡尔曼增益：

S(k) = H(k)P(k|k-1)H(k)^T + R(k)
K(k) = P(k|k-1)H(k)^TS(k)^-1

其中，S是观测协方差矩阵，R是观测噪声协方差矩阵。最后，我们得到更新的状态向量和协方差矩阵：

x(k|k) = x(k|k-1) + K(k)(z(k) - H(k)x(k|k-1))
P(k|k) =(I - K(k)H(k))P(k|k-1)

三、代码示例

1. 预测

def prediction(x, P, Q, F, B, u):
    x = F @ x + B @ u
    P = F @ P @ F.T + Q
    return x, P

2. 更新

def update(x, P, z, H, R):
    S = H @ P @ H.T + R
    K = P @ H.T @ np.linalg.inv(S)
    x = x + K @ (z - H @ x)
    P = (np.eye(len(x)) - K @ H) @ P
    return x, P

四、总结

本文介绍了扩展卡尔曼滤波算法的基本概念和算法流程，并给出了相应的代码示例。EKF是卡尔曼滤波算法的扩展版本，常用于非线性系统中提取状态信息。EKF通过对非线性状态方程的线性化，对卡尔曼滤波算法进行扩展，以适应非线性系统。