希尔伯特滤波器广泛应用于信号分析，特别是在音频处理和语言处理领域中。它通常用于提取信号中的基频或共振频率。希尔伯特滤波器是一种线性相位、非因果、无限长的频域滤波器。在本文中，我们将从多个方面详细介绍希尔伯特滤波器。
一、背景
希尔伯特滤波器是由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出的。它的主要功能是用来分析信息信号的相位关系，因而得名。希尔伯特滤波器的主要应用领域包括：信号处理、通信、音频处理和生物医学工程等领域。
希尔伯特滤波器的基本原理是选择频率范围内的信号，并从该信号中提取所需的频率成分，以达到识别和分析信号的目的。希尔伯特滤波器通常基于H(f)的形式，其中H(f)是希尔伯特滤波器的频率响应函数。
二、频率响应
希尔伯特滤波器的核心是其频率响应函数，该函数通常是奇异、不可逆、延迟且非固定因果的，定义如下：
{j (f>=0)
H(f) = 2π {0 (f=0)
{-j (f<0)
其中，j是虚数单位，f是频率。
希尔伯特滤波器的频率响应函数具有如下性质：
- 当f=0时，H(f)=0，表示通过希尔伯特滤波器的直流信号被抑制。
- 当f>0时，H(f)是一个正实数，当f<0时，H(f)是一个负实数。这表示信号被旋转了90度（或称相位移动了-90度）。
- 当f<0时，H(f)是一个虚数。这反映了希尔伯特滤波器是非因果的。
- 希尔伯特滤波器是线性相位的。
三、设计和应用
希尔伯特滤波器通常使用差分器、集成器和反馈电阻构成。常用的方法包括：
- 频域设计方法。通过改变滤波器的频率响应函数来改变其滤波特性。
- 时域设计方法。利用时域响应的周期性和寻找希尔伯特滤波器的幅度和相位响应。
希尔伯特滤波器常用于信号分析，其典型应用包括：
- 音频处理。希尔伯特滤波器可以用于输出音频信号的相位，它可以被用于压缩和减少存储空间，因为它只需要储存一个基础波形和一组相位数据即可。
- 通信。希尔伯特滤波器可以用于解析调制和解调调制，而且可以在同一频带宽度内传输多个独立信息流。
- 生物医学工程。希尔伯特滤波器可以用于解析生物电信号（如心电图和脑电图），以在不同频率下剖析信号的相位。
四、示例代码
//C++代码示例
#include <math.h>
#define M_PI 3.14159265358979323846
void hilbert(const double* input, double* output, int n)
{
fftw_complex* in = (fftw_complex*) fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * n);
fftw_complex* out = (fftw_complex*) fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * n);
fftw_plan p = fftw_plan_dft_1d(n, in, out, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);
//setup input
for(int i=0; i<n; i++){
in[i][0] = input[i];
in[i][1] = 0;
}
//run forward fft
fftw_execute(p);
//do hilbert transform
for(int i=1; i<n/2; i++) {
out[i][0] *= 2;
out[i][1] *= 2;
}
for(int i=n/2+1; i<n; i++) {
out[i][0] = 0;
out[i][1] = 0;
}
//run inverse fft
fftw_plan p_inv = fftw_plan_dft_1d(n, out, in, FFTW_BACKWARD, FFTW_ESTIMATE);
fftw_execute(p_inv);
//copy output
for(int i=0; i<n; i++){
output[i] = in[i][1]/n;
}
fftw_destroy_plan(p);
fftw_free(in);
fftw_free(out);
}
五、总结
希尔伯特滤波器是非线性数字信号处理的一个重要分支。它具有很多优点，如它可以处理广泛的信号类型，从语音信号到脑电图。希尔伯特滤波器对于提取信号的相位信息非常有用，它还可以用于减少噪声，提高信号的可读性。希尔伯特滤波器的应用范围非常广泛，它已经成为数字信号处理中的一个核心技术。
