最小外接矩形

一、最小外接矩形法

最小外接矩形法是指找到一个矩形能够完全包裹住所有给定点，且这个矩形的面积最小。这个矩形就是最小外接矩形。

解决最小外接矩形的问题可以用旋转卡壳算法，步骤如下：

1. 找到凸包。
2. 找到凸包上相邻两点。
3. 以这两点为直径的圆，可以覆盖所有的点。
4. 让圆旋转，在过凸包上的点的时候，记录圆的面积和长轴长度的最小值。
5. 继续旋转，直到回到起始位置，得到最小外接矩形的面积和长轴长度。

二、最小外接矩形 Matlab

在Matlab中实现最小外接矩形，可以用以下代码实现：

% 一列表示一组数据，n * 2 的数组
% X(:, 1) 表示所有点的x坐标，X(:, 2) 表示所有点的y坐标
X = [...]; 
k = convhull(X); % 求凸包
k(end) = []; % 去掉最后一个点
Q_ = X(k, :); % 凸包上的点
Q = unique(Q_, 'rows'); % 去重
Q(end + 1, :) = Q(1, :); % 闭合凸包
index = 1;
min_area = inf;

for i = 1:size(Q, 1)-1
   for j = i+1:size(Q, 1)-1
      % i, j 是长轴的两个端点
      % 计算矩形
      rect = [Q(i, 1:2); Q(j, 1:2); Q(j, 1), Q(i, 2); Q(i, 1), Q(j, 2)];
      % 计算矩形面积
      area = polyarea(rect(:, 1), rect(:, 2));
      if area < min_area
         min_area = area;
         index = [i, j];
      end
   end
end

% 显示结果
rectangle = [Q(index(1), 1:2); Q(index(2), 1:2); Q(index(2), 1), Q(index(1), 2); Q(index(1), 1), Q(index(2), 2)];
plot(X(:,1), X(:,2), 'k.', Q(:,1), Q(:,2), 'r+', rectangle(:,1), rectangle(:,2), 'g', 'LineWidth', 2)
axis equal

三、最小外接矩形公式

最小外接矩形的长轴与短轴可以通过计算点集的协方差矩阵求解。设点集为 $S=\{(x_1,y_1), (x_2,y_2), ..., (x_n,y_n)\}$，其中平均值为 $(\bar{x}, \bar{y})$，则：

% 计算点集的协方差矩阵
Sxx = sum((X(:,1) - mean(X(:,1))).^2);
Syy = sum((X(:,2) - mean(X(:,2))).^2);
Sxy = sum((X(:,1) - mean(X(:,1))).*(X(:,2) - mean(X(:,2))));  
COV = [Sxx, Sxy; Sxy, Syy] ./ (size(X,1)-1);

% 计算协方差矩阵的特征值和特征向量
[E, LAMBDA] = eig(COV);   

% 特征向量方向即为矩形的长轴和短轴的方向，特征值的根即为长轴和短轴的长度
rect_long = sqrt(max(LAMBDA(:)));  
rect_short = sqrt(min(LAMBDA(:)));  

四、四边形的最小外接矩形怎么求

对于任意四边形，可以通过将其转换为点集后求解最小外接矩形的方法来求解。

步骤如下：

1. 将四边形转化为点集。
2. 按照上面的算法求解点集的最小外接矩形。
3. 将最小外接矩形转化为四边形。

五、最小外接矩形算法

最小外接矩形算法有两种，分别是旋转卡壳算法和协方差矩阵算法。旋转卡壳算法适用于点集和凸包，而协方差矩阵算法适用于任意二维形状。

六、最小外接矩形C++直接法

在C++中实现最小外接矩形可以用以下代码实现：

// 输入点集 nn 和每个点的坐标对应的下标 id，返回最小外接矩形面积
double MinRectangle(int nn, Point* p, int* id) {
    int l = 1, r = 2, p1, p2, p3;
    double area = 1e20, w, h, dx, dy, ta;

    // 以所有点的最小矩形为初值
    // 求出最上面的和最下面的点
    for (int i = 1; i <= nn; i++) {
        if (p[i].x <= p[l].x) l = i;
        if (p[i].x >= p[r].x) r = i;
    }

    // 初始化矩形长轴
    dx = p[r].x - p[l].x; dy = p[r].y - p[l].y;

    // 开始旋转，每次旋转一条边，记录面积最小值
    p1 = l, p2 = r;
    for (int i = 1; i <= nn; i++) {
        if ((ta = Cross(p[p2]-p[p1], p[id[i]]-p[p1])) < 0) continue;

        while ((ta = Cross(p[p2]-p[p1], p[id[i]]-p[p1])) < 0) {
            dx = p[p2].x - p[p1].x; dy = p[p2].y - p[p1].y;
            p1 = p2, p2 = id[(p2+1) > nn ? 1 : (p2+1)];
        }

        // 重新计算长轴并记录最小值
        if (ta != 0) {
            w = fabs(dy * (p[id[i]].x-p[p1].x) / ta);
            h = fabs(dx * (p[id[i]].y-p[p1].y) / ta);
        } else {
            w = Distance(p[p1], p[id[i]]);
            h = 0;
        }

        if (w * h < area) {
            area = w * h;
        }
    }
    return area;
}

七、最小外接矩形英文

最小外接矩形的英文是Minimum bounding rectangle。

八、ArcGis最小外接矩形

ArcGis是一个常用的地理信息系统软件，它提供了对最小外接矩形的支持。使用ArcGis，可以将最小外接矩形作为工具使用。

九、最小外接矩形实验报告

在实验中，我们可以使用点集来验证最小外接矩形算法的正确性。首先，我们可以随机生成若干个二维点，然后利用算法计算出最小外接矩形，并将其显示在图像上。然后我们可以手动调整几个点的位置，观察最小外接矩形是否随之变化，以此来验证算法的正确性。

十、最小外接矩形是什么

最小外接矩形是指一个矩形能够完全包裹住所有给定点，且这个矩形的面积最小。它在计算几何、图形处理等领域有着广泛的应用。