在优化问题中，目标函数和约束条件占据着重要的位置。目标函数是描述优化目标的函数，而约束条件则是问题的限制条件。本文将从多个方面对目标函数和约束条件进行详细阐述。
一、目标函数
目标函数是描述优化问题中优化目标的函数，通常为一元或多元函数。在优化问题中，我们的目标是最小化或最大化目标函数的值。 目标函数的形式取决于问题的具体要求。比如，在线性规划问题中，目标函数具有一个线性表达式，而在非线性规划问题中，目标函数可能具有一个非线性表达式。 下面是一个求解最大化目标函数的例子：
/* 求解 f(x) = sin(x) / x 的最大值 */
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double f(double x) {
return sin(x) / x;
}
int main() {
double left = 0.1, right = 20.0;
double eps = 1e-6;
// 二分查找求最大值
while (right - left > eps) {
double mid = (left + right) / 2;
double midmid = (mid + right) / 2;
if (f(mid) < f(midmid)) {
left = mid;
} else {
right = midmid;
}
}
cout << "最大值为：" << f(left) << endl;
return 0;
}
二、约束条件
约束条件是指问题中所包含的限制条件，这些条件可能是等式约束条件或不等式约束条件。 等式约束条件用于限制变量之间的数值关系，比如 a + b + c = 10。 不等式约束条件用于限制变量的取值范围，比如 a + b >= c。 下面给出一个带有等式约束条件和不等式约束条件的线性规划问题:
/* 求解如下线性规划问题：
maximize z = 2x1 + 3x2
subject to:
x1 + x2 <= 12
x1 <= 6
x2 <= 7
x1 >= 0
x2 >= 0
x1 + x2 >= 4
*/
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double eps = 1e-6;
struct Simplex {
vector<vector<double> > a;
vector<int> idx;
int n, m;
Simplex(int n, int m) : n(n), m(m) {
a.assign(n + 1, vector<double>(m + 1, 0.0));
idx.resize(n + m);
for (int i = 0; i < n + m; i++) {
idx[i] = i;
}
}
void pivot(int r, int c) {
swap(idx[n + r], idx[c]);
double div = a[r][c];
a[r][c] = 1;
for (int i = 0; i <= m; i++) {
a[r][i] /= div;
}
for (int i = 0; i <= n; i++) {
if (i != r) {
double mul = a[i][c];
a[i][c] = 0;
for (int j = 0; j <= m; j++) {
a[i][j] -= a[r][j] * mul;
}
}
}
}
bool simplex(int phase) {
int x = n + m;
while (true) {
int c = -1;
for (int i = 0; i < m; i++) {
if (phase == 1 && idx[i] == x) {
continue;
}
if (c == -1 || a[n][i] < a[n][c] - eps || (a[n][i] < a[n][c] + eps && idx[i] < idx[c])) {
c = i;
}
}
if (c == -1) {
break;
}
int r = -1;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (a[i][c] > eps) {
if (r == -1 || a[i][m] / a[i][c] < a[r][m] / a[r][c] - eps || (a[i][m] / a[i][c] < a[r][m] / a[r][c] + eps && idx[i] < idx[r])) {
r = i;
}
}
}
if (r == -1) {
return false;
}
pivot(r, c);
}
return true;
}
double solve() {
int r = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (a[i][m] < a[r][m]) {
r = i;
}
}
if (a[r][m] < -eps) {
pivot(r, m);
if (!simplex(1) || a[n][m] < -eps) {
return -numeric_limits<double>::infinity();
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (abs(a[i][m]) > eps && a[i][m] / abs(a[i][m]) == a[r][m] / abs(a[r][m])) {
pivot(i, m);
}
}
r = n - 1;
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
if (a[i][m] > eps && (r == n - 1 || a[i][m] / a[i][n] < a[r][m] / a[r][n] - eps || (a[i][m] / a[i][n] < a[r][m] / a[r][n] + eps && idx[i] < idx[r]))) {
r = i;
}
}
}
if (!simplex(2)) {
return numeric_limits<double>::infinity();
}
return a[n][m];
}
};
int main() {
Simplex S(5, 3);
S.a[0][0] = -2;
S.a[0][1] = -3;
S.a[0][2] = 0;
S.a[1][0] = 1;
S.a[1][1] = 1;
S.a[1][2] = 1;
S.a[1][3] = 12;
S.a[2][0] = 1;
S.a[2][1] = 0;
S.a[2][2] = 0;
S.a[2][3] = 6;
S.a[3][0] = 0;
S.a[3][1] = 1;
S.a[3][2] = 0;
S.a[3][3] = 7;
S.a[4][0] = 0;
S.a[4][1] = 0;
S.a[4][2] = 1;
S.a[4][3] = 4;
S.a[5][0] = 0;
S.a[5][1] = 0;
S.a[5][2] = 0;
S.a[5][3] = 0;
double ans = S.solve();
cout << "最大值为：" << -ans << endl;
return 0;
}
三、总结
本文对目标函数和约束条件进行了详细的介绍。目标函数和约束条件是优化问题的核心，对于不同类型的问题，需要选择适当的目标函数和约束条件。
