学生t分布简介

一、t分布是什么？

t分布是一种概率分布，用以描述小样本量下的平均数估计值的不确定性。它看起来像标准正态分布，但是更宽一些，也更平坦一些。t分布和正态分布一样，都是关于均值对称的。但是，t分布的形状依赖于样本大小。

在数据分析中，t分布被广泛应用于小样本量下的假设检验和置信区间的计算。通常情况下，如果样本量大于30个，可以使用正态分布来代替t分布。

# Python 代码示例
import scipy.stats as stats

# 指定自由度（df=29）计算在0.025置信水平下的临界值
stats.t.ppf(q=0.025, df=29)

二、t分布的概率密度函数

t分布的概率密度函数形式较为复杂，但是可以使用Python的库来方便地进行计算。例如，使用scipy.stats库可以很容易地获得t分布的概率密度函数值。

下面是展示t分布概率密度函数在不同自由度下的图表。

# Python 代码示例
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats

x = np.linspace(-4, 4, 1000)
df_values = [1, 2, 5, 30]
for df in df_values:
    t_dist = stats.t(df=df)
    plt.plot(x, t_dist.pdf(x), label=f"df={df}")
plt.legend()
plt.show()

三、t分布与正态分布之间的关系

在样本数量足够大的情况下，t分布将越来越接近于标准正态分布。这是因为随着自由度的增加，t分布越来越集中在正常分布周围。因此，当我们在样本数量足够大的情况下，我们可以假设服从t分布的数据也服从标准正态分布。

可以通过下面的函数来比较t分布和标准正态分布的差异。

# Python 代码示例
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats

x = np.linspace(-4, 4, 1000)
t_dist = stats.t(df=30)
plt.plot(x, t_dist.pdf(x), label="t-dist")
n_dist = stats.norm()
plt.plot(x, n_dist.pdf(x), label="normal-dist")
plt.legend()
plt.show()

四、t分布用于假设检验

在数据分析中，t分布被广泛应用于小样本量下的假设检验。下面是一个使用t分布进行双侧t检验的Python代码示例：

# Python 代码示例
import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 随机生成两个小样本
sample1 = np.random.normal(loc=5, scale=2, size=20)
sample2 = np.random.normal(loc=6, scale=2, size=20)

# 计算平均值和标准差
mean1, mean2 = np.mean(sample1), np.mean(sample2)
std1, std2 = np.std(sample1, ddof=1), np.std(sample2, ddof=1)

# 计算t值及其p值
t_value, p_value = stats.ttest_ind(sample1, sample2, equal_var=False)

print(f"t value: {t_value:.3f}, p value: {p_value:.4f}")

五、小结

学生t分布是一种经典的概率分布，用于分析小样本量下的情况。它是假设检验和置信区间计算中的重要工具。在自由度足够大的情况下，t分布逐渐趋向于标准正态分布，这样就可以将t分布问题简化为正态分布问题。在Python中，我们可以使用scipy.stats库轻松地处理t分布问题。