自适应动态规划是一种针对动态规划问题的解决方案，它可以针对问题的特定性质自适应调整算法以提高效率。自适应动态规划的核心思想是将重复计算的子问题存储起来以避免重复计算，并且根据计算结果逐步优化算法。
一、自适应动态规划的基本思路
自适应动态规划的基本思路是，当我们计算一个子问题时，我们会把它的解存储下来。当下一次对同一个子问题求解时，我们先查看存储的解是否存在，并且是否可以被重用。如果可以重用，我们直接返回这个解，否则我们需要重新计算它。
int dp(int i)
{
if(dp[i]!=-1) return dp[i]; //如果已经计算过这个子问题，直接返回结果
// 计算子问题 dp[i]
// ...
dp[i] = result; // 存储子问题的解
return dp[i]; // 返回子问题的解
}
自适应动态规划的思路与传统的动态规划思路类似，不同之处在于，自适应动态规划每次在计算子问题的同时，会存储这个子问题的解，避免重复计算。
二、自适应动态规划的优化策略
自适应动态规划能够根据问题的特定性质自适应调整算法以提高效率。以下是自适应动态规划的一些常见优化策略：
1. 空间优化
传统的动态规划算法常常需要使用一个二维的数组来存储问题的状态，但是这样会浪费很多空间。自适应动态规划可以通过仅存储必要的状态来实现空间优化。例如，对于一个只有一维状态的问题，我们可以使用一个一维数组来存储状态，而不需要使用二维数组。
int dp(int i)
{
if(dp[i]!=-1) return dp[i];
dp[i] = dp(i-1) + dp(i-2);
return dp[i];
}
2. 剪枝优化
在递归式动态规划中，一些分支可能不是必要的，因此通过剪枝可以减少枝条数量，提高效率。例如，有些子问题显然不能取得最优解，我们可以通过剪枝减少计算量。
int dp(int i, int j)
{
if(i>=j) return 0;
if(dp[i][j]!=-1) return dp[i][j];
for(int k=i; k
3. 迭代加深
在树上的动态规划问题中，使用迭代加深搜索可以避免不必要的重复计算。迭代加深是一种深度优先遍历的算法，它每次增大搜索的深度，直到找到解为止。
void dfs(int depth)
{
if(depth == max_depth) return;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
// 计算状态 dp[depth][i]
// ...
dfs(depth+1); // 继续搜索
}
}
4. 状态压缩
对于一些二进制状态的问题，可以使用状态压缩来减少计算量。例如，在图的最短哈密顿路径问题中，我们可以使用二进制状态来存储已经访问过的节点，从而避免重复计算。
int dp(int state, int i)
{
if(dp[state][i]!=-1) return dp[state][i];
for(int j=1; j<=n; j++)
{
if((state&(1<
三、自适应动态规划的应用
自适应动态规划已经证明是一个非常有用的工具，它能够用于解决各种各样的优化问题，例如最短路径问题、最长公共子序列问题、背包问题等等。
以下是自适应动态规划的一些应用案例。
1. 最短路径问题
对于无向图或有向图，我们可以使用动态规划来计算从一个节点到另一个节点的最短路径。例如，在下面的代码中，我们使用 Floyd 算法来计算最短路径。
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int dp[maxn][maxn];
int floyd()
{
for(int k=1; k<=n; k++)
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j]);
return dp[1][n];
}
2. 最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是指给定两个字符串 S1 和 S2，求它们的最长公共子序列。我们可以使用动态规划来解决这个问题。
int dp[maxn][maxn];
int lcs(string s1, string s2)
{
int n1 = s1.size(), n2 = s2.size();
for(int i=0; i<=n1; i++)
for(int j=0; j<=n2; j++)
{
if(i==0 || j==0) dp[i][j] = 0;
else if(s1[i-1] == s2[j-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
return dp[n1][n2];
}
3. 背包问题
背包问题是指给定一个背包，和一些物品，每个物品都有一个重量和价值，求在不超过背包容量的情况下，能够装进背包的最大价值。我们可以使用动态规划来解决这个问题。
int dp[maxn][maxm];
int knapsack(int m, int n)
{
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
{
if(j>=v[i]) dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
else dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
return dp[n][m];
}
以上是自适应动态规划的基本思路、优化策略和应用案例。自适应动态规划是一个非常实用的算法，可以在很多问题中发挥巨大的作用。
