pymc3介绍

发布时间：2023-05-20

基于Python进行贝叶斯概率编程和模型构建

基于Python进行贝叶斯概率编程和模型构建的pymc3是一个强大的工具。它是一个完全可扩展、开源和高效的概率编程工具，可用于处理各种贝叶斯模型。本文将从多个方面对pymc3进行详细的阐述。

一、安装和基本使用

首先介绍pymc3的安装和基本使用。安装pymc3非常简单，只需在命令提示符或终端中键入以下命令即可：

!pip install pymc3

pymc3的基本使用如下所示：

import numpy as np
import pymc3 as pm
with pm.Model() as model:
    # 定义先验分布
    p = pm.Uniform('p', lower=0, upper=1)
    # 定义似然函数
    y = pm.Bernoulli('y', p=p, observed=[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1])
    # 采样
    trace = pm.sample(1000, tune=500)

在上面的代码中，我们首先导入模块并定义了一个模型，然后在其中定义了先验分布和似然函数。接着我们使用了pymc3的采样函数sample()来得到后验样本。这里的采样方法使用的是NUTS（No U-Turn Sampler）方法。

二、常用概率分布的建模

随着概率编程技术的发展，概率编程已经成为应对数据分析和建模问题的有效方法。pymc3支持多种常用的概率分布模型，这些模型都涉及到不同的概率分布。下面我们将介绍一些常用的概率分布，例如正态分布、伽马分布、指数分布等，并给出对应的代码实现。 （1）正态分布：

import numpy as np
import pymc3 as pm
with pm.Model() as model:
    μ = pm.Normal('μ', mu=0, sigma=1)
    σ = pm.Uniform('σ', lower=0, upper=10)
    y = pm.Normal('y', mu=μ, sigma=σ, observed=[1, 2, 3])
    trace = pm.sample(1000)

（2）伽马分布：

import numpy as np
import pymc3 as pm
with pm.Model() as model:
    α = pm.Gamma('α', alpha=2, beta=2)
    β = pm.Uniform('β', lower=0, upper=10)
    y = pm.Gamma('y', alpha=α, beta=β, observed=[1, 2, 3])
    trace = pm.sample(1000)

（3）指数分布：

import numpy as np
import pymc3 as pm
with pm.Model() as model:
    λ = pm.Exponential('λ', lam=1)
    y = pm.Exponential('y', lam=λ, observed=[1, 2, 3])
    trace = pm.sample(1000)

三、建模技巧

在实际建模过程中，pymc3有一些技巧可以用来提高建模效果。下面我们将介绍一些实用的建模技巧。 （1）用多个不同的模型进行比较： 通常情况下，建模过程中可能会使用多个不同的模型进行比较。在pymc3中我们可以使用waic()函数来比较模型效果。

import numpy as np
import pymc3 as pm
data = np.random.normal(0, 1, size=100)
with pm.Model() as model1:
    μ = pm.Normal('μ', mu=0, sigma=1)
    y = pm.Normal('y', mu=μ, sigma=1, observed=data)
    trace1 = pm.sample(1000)
with pm.Model() as model2:
    μ = pm.Normal('μ', mu=0, sigma=10)
    y = pm.Normal('y', mu=μ, sigma=1, observed=data)
    trace2 = pm.sample(1000)
waic1 = pm.waic(trace1, model1)
waic2 = pm.waic(trace2, model2)
print(waic1.waic, waic2.waic)

（2）使用分层模型： 分层模型是一种特殊的建模方式，通过将数据分成不同的层级来构建模型。具体来说，我们可以将数据分为多个子集，然后在每个子集中构建一个具有相似参数的模型。 在下面的例子中，我们对每个网格的温度进行建模，并将每个网格的参数设置为随机效应，以模拟网格之间的变化。

import pandas as pd
import pymc3 as pm
data = pd.read_csv('temperature.csv')
with pm.Model() as model:
    μ = pm.Normal('μ', mu=0, sigma=1)
    τ = pm.HalfCauchy('τ', beta=1)
    α = pm.Normal('α', mu=μ, sigma=τ, shape=len(data['grid'].unique()))
    y = pm.Normal('y', mu=α[data['grid']], sigma=1, observed=data['temperature'])
    trace = pm.sample(1000)

四、高级应用

pymc3还支持一些高级的应用，例如变量转换、多项式回归、GP回归等。下面我们将介绍一些高级的应用。 （1）变量转换： 变量转换是一种将数值转换为可用于建模的形式的方法。在pymc3中，我们可以使用Theano的函数来进行变量转换。

import numpy as np
import pymc3 as pm
with pm.Model() as model:
    x = pm.Beta('x', alpha=1, beta=1)
    y = pm.Deterministic('y', pm.math.log(x / (1 - x)))
    trace = pm.sample(1000)

（2）多项式回归： 多项式回归是一种常用的预测建模方法。在pymc3中，我们可以使用Theano模块的polynomial()函数来进行多项式回归。

import numpy as np
import pymc3 as pm
import theano.tensor as tt
x = np.linspace(0, 1, num=100)
y = 2 * x**2 + 0.5 * x + 0.2 + np.random.normal(0, 0.1, size=100)
with pm.Model() as model:
    β0 = pm.Normal('β0', mu=0, sigma=1)
    β1 = pm.Normal('β1', mu=0, sigma=1)
    β2 = pm.Normal('β2', mu=0, sigma=1)
    σ = pm.Uniform('σ', lower=0, upper=1)
    y_obs = pm.Normal('y_obs', mu=tt.polynomial([x, x**2], [β1, β2, β0]), sigma=σ, observed=y)
    trace = pm.sample(1000)

（3）GP回归： 高斯过程（Gaussian Process，GP）是一种非常有用的回归方法，可以应用于大量实际问题。在pymc3中，我们可以使用Theano模块的gp函数来进行GP回归。

import numpy as np
import pymc3 as pm
import theano.tensor as tt
x = np.linspace(0, 1, num=100)
y = 2 * np.sin(6 * np.pi * x) + np.random.normal(0, 0.1, size=100)
with pm.Model() as model:
    ℓ = pm.Gamma("ℓ", alpha=2, beta=1)
    η = pm.Gamma("η", alpha=2, beta=1)
    cov = η**2 * pm.gp.cov.ExpQuad(1, ℓ)
    gp = pm.gp.Marginal(cov_func=cov)
    y_obs = gp.marginal_likelihood("y_obs", X=x[:, None], y=y, noise=0.1)
    trace = pm.sample(1000)

五、总结

本文介绍了pymc3的基本用法和常用概率分布的建模方法，并介绍了一些实用的建模技巧和高级应用程序。pymc3是一个强大而灵活的概率编程工具，可以应对各种数据建模和分析问题。

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