一、整除概述

Python3 的整除有两种方式：/ 和 //，它们的区别在于使用 / 进行计算得到的是浮点数，而使用 // 进行计算得到的是整数。在 Python2 版本中，/ 的计算结果也是整数。但在 Python3 中，该运算符的行为被重新定义为浮点数除法。所以为了得到整数结果，需要使用 // 进行整除。下面是一些整除的示例：

# 使用 / 进行除法计算
a = 10
b = 3
c = a / b
print(c) # 输出结果为3.3333333333333335
# 使用 // 进行整除计算
a = 10
b = 3
c = a // b
print(c) # 输出结果为3

二、整除与取模

整除除以一个数，会得到一个商和一个余数。其中商即为整除的结果，而余数为取模的结果。 Python 中的取模运算符为 %，其结果为除法运算后的余数。下面是一些整除和取模的示例：

# 求5除以3的结果
a, b = 5, 3
q = a // b # 整除，结果为1
r = a % b # 取模，结果为2
print(q, r) # 输出结果为 1 2
# 求100除以10的结果
a, b = 100, 10
q = a // b # 整除，结果为10
r = a % b # 取模，结果为0
print(q, r) # 输出结果为 10 0

三、整除和负数

当被除数为负数时，整除的结果会比正数情况下少一。下面是一些整除和负数的示例：

# 求-10除以3的结果
a, b = -10, 3
q = a // b # 整除，结果为 -4
r = a % b # 取模，结果为 2
print(q, r) # 输出结果为 -4 2
# 求10除以-3的结果
a, b = 10, -3
q = a // b # 整除，结果为-4
r = a % b # 取模，结果为 2
print(q, r) # 输出结果为 -4 2

四、整除的变形

整除运算可以变形为加、减和乘法运算，这些变形常用于编写高效的算法。

1. 使用加法

整除 a//b 可以表示成 a/b 的整数部分加上一个整数 r： a // b = a / b - r ，其中 r 是满足 r <= a/b < r+1 的唯一整数。

# 求10除以3的结果
a, b = 10, 3
q = a // b # 整除，结果为3
r = a % b # 取模，结果为1
print(q, r) # 输出结果为 3 1
# 使用加法算式表示整除
a, b = 10, 3
q = a // b # 整除，结果为3
r = a % b # 取模，结果为1
r_prime = a - q*b # 计算 r_prime = a - qb，其结果也为1
print(q, r_prime) # 输出结果为 3 1

2. 使用乘法

整除 a//b 可以表示成用 a 和 b 的乘积的某个数 m 除以 b 的结果： a // b = m / b ，其中 m 是满足 a = mb + r 且 0 <= r < b 的唯一整数。

# 求10除以3的结果
a, b = 10, 3
q = a // b # 整除，结果为3
r = a % b # 取模，结果为1
print(q, r) # 输出结果为 3 1
# 使用乘法算式表示整除
a, b = 10, 3
q = a * pow(b, -1) # 计算 q = a * b^(-1)，其中 b^(-1) 表示 b 的逆元，其值为 0.33333...
q = int(q) # 取整，结果为3
r = a - q*b # 计算余数，其结果为1
print(q, r) # 输出结果为 3 1

五、整除应用场景

整除是计算机科学中常用的数学运算之一，特别在算法和数据结构领域，整除被广泛应用。

1. 求平均数

求一组数据的平均数，其实就是把所有数据加起来，再除以数据个数。通常情况下，除法操作得到的结果是浮点数，为了得到整数结果，需要使用整除运算符。

data = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
n = len(data)
s = sum(data)
avg = s // n
print(avg) # 输出结果为 3

2. 求最大公约数

求最大公约数是计算机科学中的一个重要问题。辗转相除法是求最大公约数的常用方法之一，其基本思想是不断用较大数除以较小数，直到较小数为0为止，较大数即为原两个数的最大公约数。

def gcd(a, b): # 辗转相除法求最大公约数
    while b != 0:
        r = a % b
        a, b = b, r
    return a
a, b = 48, 60
d = gcd(a, b)
print(d) # 输出结果为 12

3. 求最小公倍数

求最小公倍数也是计算机科学中的一个重要问题。最小公倍数可以通过最大公约数的计算结果得出。

def gcd(a, b): # 辗转相除法求最大公约数
    while b != 0:
        r = a % b
        a, b = b, r
    return a
def lcm(a, b): # 求最小公倍数
    d = gcd(a, b)
    return a * b // d
a, b = 48, 60
m = lcm(a, b)
print(m) # 输出结果为 240

4. 等比数列求和

等比数列求和也是计算机科学中的一个重要问题。等比数列的求和公式为：S = a1(1-q^n)/(1-q)，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。

a1, q, n = 1, 2, 10
S = a1 * (1 - pow(q, n)) // (1 - q)
print(S) # 输出结果为 1023

六、结语

本文详细阐述了 Python3 的整除操作符的行为以及应用场景。如果在开发实践中遇到需要整除的情况，可以结合本文示例写出符合自己需求的代码。

Python3整除详解