一、整除概述
Python3 的整除有两种方式：/ 和 //，它们的区别在于使用 / 进行计算得到的是浮点数，而使用 // 进行计算得到的是整数。
在 Python2 版本中，/ 的计算结果也是整数。但在 Python3 中，该运算符的行为被重新定义为浮点数除法。所以为了得到整数结果，需要使用 // 进行整除。
下面是一些整除的示例：
# 使用 / 进行除法计算 a = 10 b = 3 c = a / b print(c) # 输出结果为3.3333333333333335 # 使用 // 进行整除计算 a = 10 b = 3 c = a // b print(c) # 输出结果为3
二、整除与取模
整除除以一个数，会得到一个商和一个余数。其中商即为整除的结果，而余数为取模的结果。
Python 中的取模运算符为 %，其结果为除法运算后的余数。
下面是一些整除和取模的示例：
# 求5除以3的结果 a, b = 5, 3 q = a // b # 整除，结果为1 r = a % b # 取模，结果为2 print(q, r) # 输出结果为 1 2 # 求100除以10的结果 a, b = 100, 10 q = a // b # 整除，结果为10 r = a % b # 取模，结果为0 print(q, r) # 输出结果为 10 0
三、整除和负数
当被除数为负数时，整除的结果会比正数情况下少一。
下面是一些整除和负数的示例：
# 求-10除以3的结果 a, b = -10, 3 q = a // b # 整除，结果为 -4 r = a % b # 取模，结果为 2 print(q, r) # 输出结果为 -4 2 # 求10除以-3的结果 a, b = 10, -3 q = a // b # 整除，结果为-4 r = a % b # 取模，结果为 2 print(q, r) # 输出结果为 -4 2
四、整除的变形
整除运算可以变形为加、减和乘法运算，这些变形常用于编写高效的算法。
1. 使用加法
整除 a//b 可以表示成 a/b 的整数部分加上一个整数 r：
a // b = a / b - r ，其中 r 是满足 r <= a/b < r+1 的唯一整数。
# 求10除以3的结果 a, b = 10, 3 q = a // b # 整除，结果为3 r = a % b # 取模，结果为1 print(q, r) # 输出结果为 3 1 # 使用加法算式表示整除 a, b = 10, 3 q = a // b # 整除，结果为3 r = a % b # 取模，结果为1 r_prime = a - q*b # 计算 r_prime = a - qb，其结果也为1 print(q, r_prime) # 输出结果为 3 1
2. 使用乘法
整除 a//b 可以表示成用 a 和 b 的乘积的某个数 m 除以 b 的结果：
a // b = m / b ，其中 m 是满足 a = mb + r 且 0<=r
# 求10除以3的结果 a, b = 10, 3 q = a // b # 整除，结果为3 r = a % b # 取模，结果为1 print(q, r) # 输出结果为 3 1 # 使用乘法算式表示整除 a, b = 10, 3 q = a * pow(b, -1) # 计算 q = a * b^(-1)，其中 b^(-1) 表示 b 的逆元，其值为 0.33333... q = int(q) # 取整，结果为3 r = a - q*b # 计算余数，其结果为1 print(q, r) # 输出结果为 3 1
五、整除应用场景
整除是计算机科学中常用的数学运算之一，特别在算法和数据结构领域，整除被广泛应用。
下面是一些整除应用场景的示例：
1. 求平均数
求一组数据的平均数，其实就是把所有数据加起来，再除以数据个数。
通常情况下，除法操作得到的结果是浮点数，为了得到整数结果，需要使用整除运算符。
data = [1, 2, 3, 4, 5, 6] n = len(data) s = sum(data) avg = s // n print(avg) # 输出结果为 3
2. 求最大公约数
求最大公约数是计算机科学中的一个重要问题。
辗转相除法是求最大公约数的常用方法之一，其基本思想是不断用较大数除以较小数，直到较小数为0为止，较大数即为原两个数的最大公约数。
def gcd(a, b): # 辗转相除法求最大公约数
while b != 0:
r = a % b
a, b = b, r
return a
a, b = 48, 60
d = gcd(a, b)
print(d) # 输出结果为 12
3. 求最小公倍数
求最小公倍数也是计算机科学中的一个重要问题。
最小公倍数可以通过最大公约数的计算结果得出。
def gcd(a, b): # 辗转相除法求最大公约数
while b != 0:
r = a % b
a, b = b, r
return a
def lcm(a, b): # 求最小公倍数
d = gcd(a, b)
return a * b // d
a, b = 48, 60
m = lcm(a, b)
print(m) # 输出结果为 240
4. 等比数列求和
等比数列求和也是计算机科学中的一个重要问题。
等比数列的求和公式为：S = a1(1-q^n)/(1-q) ，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。
a1, q, n = 1, 2, 10 S = a1 * (1 - pow(q, n)) // (1 - q) print(S) # 输出结果为 1023
六、结语
本文详细阐述了 Python3 的整除操作符的行为以及应用场景。
如果在开发实践中遇到需要整除的情况，可以结合本文示例写出符合自己需求的代码。
