混沌映射是非线性动力学中经常出现的一个重要概念，它是一种简单的模型，可以产生看起来随机的复杂性。常见的混沌映射有 Logistic 映射、Henon 映射、Ikeda 映射等等。本文将深入浅出地介绍 Logistic 混沌映射及它的一些应用。我们首先从 Logistic 函数的定义开始。
一、Logistic 函数
Logistic 函数的定义如下：
def logistic(r, x):
return r*x*(1-x)
其中，r 为参数，用于控制复杂度，常常取值在 3.6 到 4.0 之间。x 为输入，取值范围为 [0,1]。该函数将一个输入值映射为 [0,1] 之间的新值。
下面是一个 Logistic 函数输出-输入的图像，它展示了 Logistic 函数的性质：
import matplotlib.pyplot as plt
def show_logistic():
r = 3.8
x = [0.5]
for i in range(200):
x.append(logistic(r, x[-1]))
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, 'b-', label='logistic map')
ax.plot([0, 200], [0.5, 0.5], 'r--', label='y=0.5')
ax.legend()
ax.set_xlabel('time')
ax.set_ylabel('Xt')
plt.show()
show_logistic()
二、Logistic 映射及混沌性质
Logistic 函数可以进一步用来定义 Logistic 映射，即：使用一个初始值，通过反复使用 Logistic 函数，得到一个序列，称之为 Logistic 映射序列。
def logistic_map(r, x0, n):
result = []
xt = x0
for i in range(n):
result.append(xt)
xt = logistic(r, xt)
return result
下面是 Logistic 映射在不同参数下的输出结果：
def show_logistic_map():
fig, axes = plt.subplots(nrows=2, ncols=3, figsize=(10, 6))
x0 = 0.2
n = 1000
r_values = [2.4, 2.8, 3.2, 3.6, 3.8, 4.0]
for r, ax in zip(r_values, axes.flatten()):
ax.plot(logistic_map(r, x0, n), 'b.', markersize=1)
ax.set_title(f"r = {r}")
plt.tight_layout()
plt.show()
show_logistic_map()
可以看到，当 r 取不同的值时，序列会展现出不同的路径，部分路径会变得非常复杂。
Logistic 映射的混沌性质，体现在它的输出序列的初值敏感性上。即，微小的初始变化，可能会导致序列朝着完全不同的方向发展。例如，下面是两个 Logistic 映射序列在初始值上仅相差 0.0001 的情况下的对比：
r = 3.9
x0_1 = 0.6
x0_2 = 0.6001
plt.plot(logistic_map(r, x0_1, 500), 'b-', label=f'x0 = {x0_1}')
plt.plot(logistic_map(r, x0_2, 500), 'r-', label=f'x0 = {x0_2}')
plt.legend()
plt.show()
这说明 Logistic 映射序列对于初始值的依赖性越来越大，进而画出的图像变得乱糟糟的。
三、应用
1. 图像加密
Logistic 映射可以广泛应用于图像加密。基本思路是，将图像像素的灰度值作为输入初始值，产生 Logistic 映射序列，然后将序列的值乘以 255 得到一组新的灰度值，至此完成加密。解密时，将新的灰度值输入到 Logistic 映射中，得到的序列再次乘以 255 就可以得到原始的灰度值。
def logistic_encryption(image, r, x0):
rows, cols = image.shape
data_len = rows*cols
logistic_seq = np.array(logistic_map(r, x0, data_len))
encryption_data = (logistic_seq * 255).reshape(rows, cols)
encrypted_image = image ^ encryption_data.astype(np.uint8)
return encrypted_image
def logistic_decryption(encrypted_image, r, x0):
rows, cols = encrypted_image.shape
data_len = rows*cols
logistic_seq = np.array(logistic_map(r, x0, data_len))
encryption_data = (logistic_seq * 255).reshape(rows, cols)
decrypted_image = encrypted_image ^ encryption_data.astype(np.uint8)
return decrypted_image
2. 人工神经元
Logistic 映射可以用于神经元，它的特点是可以在 0 和 1 之间缓慢地变化，并以某个 r 值为中心，单调减小或增加。
神经元的核心公式就是 Logistic 映射：
def logistic_neuron(w, x, theta):
return logistic(np.dot(w, x)-theta, 1)
w = np.array([1, -2])
x = np.array([1, 0.5])
theta = 0
logistic_neuron(w, x, theta)
其中，w 和 x 是权重和输入的向量，theta 是阈值。实现代码参考下面的 Github 仓库：
四、结束语
总结一下，我们在本文中深入阐述了 Logistic 混沌映射的本质、计算方式、应用场合等。Logistic 混沌映射为我们研究非线性动力学问题提供了简单粗暴的方法，例如模拟天气预报、地震预警等。\n我们在本文中提供了多个 Code 示例，可以直接运行并修改。
