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笛卡尔积是什么,详细解答一下,最好再举例
假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。 [编辑本段]笛卡尔积的运算性质由于有序对x,y中x,y的位置是确定的,因此A×B的记法也是确定的,不能写成B×A.
笛卡尔积也可以多个集合合成,A1×A2×…×An.
笛卡尔积的运算性质. 一般不能交换.
笛卡尔积,把集合A,B合成集合A×B,规定
A×B={x,y½xÎAÙyÎB}
在任意集合A上都可以定义笛卡尔积因为对任意两个集合A和B,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成有序对,所有这样的有序对组成的集合就是集合A和B的笛卡尔积.当集合A = B 时,笛卡尔积就记作A A. [编辑本段]推导过程给定一组域D1,D2,…,Dn,这些域中可以有相同的。D1,D2,…,Dn的笛卡尔积为:
D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn)|di∈Di,i=1,2,…,n}
所有域的所有取值的一个组合不能重复
例 给出三个域:
D1=SUPERVISOR ={ 张清玫,刘逸 }
D2=SPECIALITY={计算机专业,信息专业}
D3=POSTGRADUATE={李勇,刘晨,王敏}
则D1,D2,D3的笛卡尔积为D:
D=D1×D2×D3 =
{(张清玫,计算机专业,李勇),(张清玫,计算机专业,刘晨),
(张清玫,计算机专业,王敏),(张清玫,信息专业,李勇),
(张清玫,信息专业,刘晨),(张清玫,信息专业,王敏),
(刘逸,计算机专业,李勇),(刘逸,计算机专业,刘晨),
(刘逸,计算机专业,王敏),(刘逸,信息专业,李勇),
(刘逸,信息专业,刘晨),(刘逸,信息专业,王敏) }
这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合,形成庞大的集合群。
本个例子中的D中就会有2X2X3个元素,如果一个集合有1000个元素,有这样3个集合,他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集,那么新的集合就将是有无限个元素。 [编辑本段]序偶与笛卡尔积在日常生活中,有许多事物是成对出现的,而且这种成对出现的事物,具有一定的顺序。例如,上,下;左,右;3〈4;张华高于李明;中国地处亚洲;平面上点的坐标等。一般地说,两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x,y〉。上述各例可分别表示为〈上,下〉;〈左,右〉;〈3,4〉;〈张华,李明〉;〈中国,亚洲〉;〈a,b〉等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a,b}={b,a},但对序偶〈a,b〉≠〈b,a〉。
设x,y为任意对象,称集合{{x},{x,y}}为二元有序组,或序偶(ordered pairs),简记为x,y 。称x为x,y的第一分量,称y为第二分量。
定义3-4.1 对任意序偶a,b , c, d ,a,b = c, d 当且仅当a=c且b = d 。
递归定义n元序组 a1,… , an
a1,a2 ={{a1},{a1 , a2}}
a1 , a2 , a3 = { {a1 , a2},{a1 , a2 , a3}}
= a1 , a2 , a3
a1,…an = a1,…an-1, an
两个n元序组相等
a1,…an = b1,…bn Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定义3-4.2 对任意集合 A1,A2 , …,An,
(1)A1×A2,称为集合A1,A2的笛卡尔积(Cartesian product),定义为
A1 ×A2={x | $u $v(x = u,v∧u ÎA1∧vÎA2)}={u,v | u ÎA1∧vÎA2}
(2)递归地定义 A1 × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An
例题1 若A={α,β},B={1,2,3},求A×B,A×A,B×B以及(A×B)Ç(B×A)。
解 A×B={〈α,1〉,〈α,2〉,〈α,3〉,〈β,1〉,〈β,2〉,β,3〉}
B×A={〈1,α〉,〈1,β〉,〈2,α〉,〈2,β〉,〈3,α〉,〈3,β〉}
A×A={〈α,α〉,〈α,β〉,〈β,α〉,〈β,β〉}
B×B={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,1〉,〈3,2〉,〈3,3〉}
(A×B)Ç(B×A)=Æ
由例题1可以看到(A×B)Ç(B×A)=Æ
我们约定若A=Æ或B=Æ,则A×B=Æ。
由笛卡尔定义可知:
(A×B)×C={〈〈a,b〉,c〉|(〈a,b〉∈A×B)∧(c∈C)}
={〈a,b,c〉|(a∈A)∧(b∈B)∧(c∈C)}
A×(B×C)={〈a,〈b,c〉〉|(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)}
由于〈a,〈b,c〉〉不是三元组,所以
(A×B)×C ≠A×(B×C)
定理3-4.1 设A, B, C为任意集合,*表示 È,Ç或 – 运算,那么有如下结论:
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即:
A×(B*C)=(A×B)*(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即:
(B*C) ×A=(B×A)*(C×A)
¤ 当*表示 È时,结论(1)的证明思路:(讨论叙述法)
先证明A×(B È C)Í(A×B) È (A×C) 从x,y∈A×(BÈC)出发,推出x,y∈(A ×B) È (A×C)
再证明(A×B) È (A×C) Í A×(B È C)
从x,y∈(A×B) È (A×C)出发,推出x,y∈A×(BÈC)
当*表示 È时,结论(2)的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。¤
定理3-4.2 设A, B, C为任意集合,若C ≠ F,那么有如下结论:
AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤
定理前半部分证明思路 :(谓词演算法)
先证明AÍB Þ (A×CÍB×C)
以AÍB 为条件,从x,y∈A×C出发,推出x,y∈B×C
得出(A×CÍB×C)结论。
再证明(A×C ÍB×C) Þ AÍB
以C≠F为条件,从x∈A出发,对于y∈C,利用Þ附加式,推出x∈B
得出(AÍB)结论。 见P-103页。 ¤
定理3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合,那么有如下结论:
A×B Í C×D的充分必要条件是AÍ C,BÍ D
¤证明思路:(谓词演算法)
先证明充分性: A×B Í C×D Þ AÍ C,BÍ D
对于任意的x∈A、y∈B,从x,y∈A×B出发,利用条件A×BÍ C×D, x,y∈C×D,推出x∈C, y∈D。
再证明必要性: AÍ C,BÍ D ÞA×BÍ C×D
对于任意的x∈A、y∈B,从x,y∈A×B出发,推出x,y∈C×D。
笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}。
什么是笛卡尔积?
笛卡尔积又叫笛卡尔乘积,是一个叫笛卡尔的人提出来的。
简单的说就是两个集合相乘的结果。
具体的定义去看看有关代数系的书的定义。
直观的说就是
集合A{a1,a2,a3}
集合B{b1,b2}
他们的
笛卡尔积
是
A*B
={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}
任意两个元素结合在一起
什么叫直积?什么叫笛卡尔乘积?
笛卡尔乘积
名称定义
假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。
笛卡儿积的运算性质
由于有序对x,y中x,y的位置是确定的,因此A×B的记法也是确定的,不能写成B×A.
笛卡儿积也可以多个集合合成,A1×A2×…×An.
笛卡儿积的运算性质. 一般不能交换.
笛卡儿积,把集合A,B合成集合A×B,规定
A×B={x,y½xÎAÙyÎB}
推导过程
给定一组域D1,D2,…,Dn,这些域中可以有相同的。D1,D2,…,Dn的笛卡尔积为:
D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn)|di�8�3Di,i=1,2,…,n}
所有域的所有取值的一个组合不能重复
例 给出三个域:
D1=SUPERVISOR ={ 张清玫,刘逸 }
D2=SPECIALITY={计算机专业,信息专业}
D3=POSTGRADUATE={李勇,刘晨,王敏}
则D1,D2,D3的笛卡尔积为D:
D=D1×D2×D3 =
{(张清玫,计算机专业,李勇),(张清玫,计算机专业,刘晨),
(张清玫,计算机专业,王敏),(张清玫,信息专业,李勇),
(张清玫,信息专业,刘晨),(张清玫,信息专业,王敏),
(刘逸,计算机专业,李勇),(刘逸,计算机专业,刘晨),
(刘逸,计算机专业,王敏),(刘逸,信息专业,李勇),
(刘逸,信息专业,刘晨),(刘逸,信息专业,王敏) }
这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合,形成庞大的集合群。
本个例子中的D中就会有2X2X3个元素,如果一个集合有1000个元素,有这样3个集合,他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集,那么新的集合就将是有无限个元素。
序偶与笛卡尔积
在日常生活中,有许多事物是成对出现的,而且这种成对出现的事物,具有一定的顺序。例如,上,下;左,右;3〈4;张华高于李明;中国地处亚洲;平面上点的坐标等。一般地说,两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x,y〉。上述各例可分别表示为〈上,下〉;〈左,右〉;〈3,4〉;〈张华,李明〉;〈中国,亚洲〉;〈a,b〉等。
序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a,b}={b,a},但对序偶〈a,b〉≠〈b,a〉。
设x,y为任意对象,称集合{{x},{x,y}}为二元有序组,或序偶(ordered pairs),简记为x,y 。称x为x,y的第一分量,称y为第二分量。
定义3-4.1 对任意序偶a,b , c, d ,a,b = c, d 当且仅当a=c且b = d 。
递归定义n元序组 a1,… , an
a1,a2 ={{a1},{a1 , a2}}
a1 , a2 , a3 = { {a1 , a2},{a1 , a2 , a3}}
= a1 , a2 , a3
a1,…an = a1,…an-1, an
两个n元序组相等
a1,…an = b1,…bn Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定义3-4.2 对任意集合 A1,A2 , …,An,
(1)A1×A2,称为集合A1,A2的笛卡尔积(Cartesian product),定义为
A1 ×A2={x | $u $v(x = u,v∧u ÎA1∧vÎA2)}={u,v | u ÎA1∧vÎA2}
(2)递归地定义 A1 × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An
例题1 若A={α,β},B={1,2,3},求A×B,A×A,B×B以及(A×B)Ç(B×A)。
解 A×B={〈α,1〉,〈α,2〉,〈α,3〉,〈β,1〉,〈β,2〉,β,3〉}
B×A={〈1,α〉,〈1,β〉,〈2,α〉,〈2,β〉,〈3,α〉,〈3,β〉}
A×A={〈α,α〉,〈α,β〉,〈β,α〉,〈β,β〉}
B×B={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,1〉,〈3,2〉,〈3,3〉}
(A×B)Ç(B×A)=Æ
由例题1可以看到(A×B)Ç(B×A)=Æ
我们约定若A=Æ或B=Æ,则A×B=Æ。
由笛卡尔定义可知:
(A×B)×C={〈〈a,b〉,c〉|(〈a,b〉∈A×B)∧(c∈C)}
={〈a,b,c〉|(a∈A)∧(b∈B)∧(c∈C)}
A×(B×C)={〈a,〈b,c〉〉|(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)}
由于〈a,〈b,c〉〉不是三元组,所以
(A×B)×C ≠A×(B×C)
定理3-4.1 设A, B, C为任意集合,*表示 È,Ç或 – 运算,那么有如下结论:
笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即:
A×(B*C)=(A×B)*(A×C)
笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即:
(B*C) ×A=(B×A)*(C×A)
¤ 当*表示 È时,结论(1)的证明思路:(讨论叙述法)
先证明A×(B È C)Í(A×B) È (A×C) 从x,y∈A×(BÈC)出发,推出x,y∈(A ×B) È (A×C)
再证明(A×B) È (A×C) Í A×(B È C)
从x,y∈(A×B) È (A×C)出发,推出x,y∈A×(BÈC)
当*表示 È时,结论(2)的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。¤
定理3-4.2 设A, B, C为任意集合,若C ≠ F,那么有如下结论:
AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤
定理前半部分证明思路 :(谓词演算法)
先证明AÍB Þ (A×CÍB×C)
以AÍB 为条件,从x,y∈A×C出发,推出x,y∈B×C
得出(A×CÍB×C)结论。
再证明(A×C ÍB×C) Þ AÍB
以C≠F为条件,从x∈A出发,对于y∈C,利用Þ附加式,推出x∈B
得出(AÍB)结论。 见P-103页。 ¤
定理3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合,那么有如下结论:
A×B Í C×D的充分必要条件是AÍ C,BÍ D
¤证明思路:(谓词演算法)
先证明充分性: A×B Í C×D Þ AÍ C,BÍ D
对于任意的x∈A、y∈B,从x,y∈A×B出发,利用条件A×BÍ C×D, x,y∈C×D,推出x∈C, y∈D。
再证明必要性: AÍ C,BÍ D ÞA×BÍ C×D
对于任意的x∈A、y∈B,从x,y∈A×B出发,推出x,y∈C×D。
笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}。
笛卡尔积怎么算。要过程
笛卡尔乘积是指在数学中,两个集合X和Y的笛卡尔积,又称直积,表示为X×Y,第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成知员,而笛卡尔乘积的具体算法及过程如下:
设A,B为一个集合,将A中的元素作为第一个元素,B中的元素作为第二个元素,形成有序对。所有这些有序对都由一个称为a和B的笛卡尔积的集合组成,并被记录为AxB。
扩展资料:
笛卡尔乘积中专业符号的意义
1、“∈”是数学中的一种符号。读作“内属于”。如果∈a,那么a属于集合a,a是集合a中的元素..当你在数学上读这个符号时,你可以直接用“归属”这个词来表达它。
2、∧,称为合取,就是逻辑与,例如,当且仅当P∧Q均为真(T),其余均为假(F)时,P为真。
3、∨,被称为分离,逻辑或,例如:P∨Q,当且仅当P和Q到F同时,结果为假,其余为真。
4、┐为逻辑非容
什么是笛卡尔积?怎么计算啊
笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。