一、基本概念
非线性最小二乘法是一种数学优化技术，用于解决一组非线性方程组的拟合问题。该方法将实验数据拟合到一个经验公式或者理论函数，以尽可能减小预测值与实际值之间的平方误差和。
对于一个非线性问题，一般来说没有直接的解析解。因此，非线性最小二乘法通过迭代的方式求解一个局部最优解，使得拟合函数与实验数据的误差最小。
一般来说，非线性最小二乘法分为两个步骤：首先，构建非线性方程组，然后使用数值方法求解。下面我们将对这两个步骤进行详细介绍。
二、构建非线性方程组
构建非线性方程组是非线性最小二乘法的第一步。其目的是建立一个与实验数据拟合的经验公式或理论函数。
假设我们有一个非线性模型：
y = f(x, β) + ε
其中，y 是实验数据，x 是输入值， β 是一组未知参数， ε 是误差。该模型可以表示成非线性方程组：
y1-f(x1,β) = ε1
y2-f(x2,β) = ε2
⋮
yn-f(xn,β) = εn
其中矢量 y, x, 和 ε 分别表示实验数据、输入值和误差。函数 f 表示经验公式或理论函数。我们的目标是通过调整 β 来尽可能减小从矢量 ε 中获取的信息（误差）。
为了对 β 进行更新，我们需要计算误差的梯度。下面我们将介绍计算误差梯度的过程。
三、误差梯度的计算
误差梯度是非线性最小二乘法的核心。计算误差梯度的公式如下：
J(β) = (y-f(x,β))ᵀ·(y-f(x,β))
∂J/∂β = -2·(y-f(x,β))ᵀ·∂f/∂β
式中，J(β) 表示误差的平方和， ∂J/∂β 表示误差梯度，ᵀ 表示矩阵的转置。要最小化误差，需要将β调整到使得误差梯度 ∂J/∂β 最小的位置。
在计算误差梯度之前，我们需要进行一些工作。首先，我们需要定义误差函数，如下所示：
e(β) = y-f(x,β)
这个函数表示实验数据 y 和理论函数 f(x,β) 的差异。然后，我们需要计算误差函数的雅可比矩阵，如下所示：
J(β) = ∂e/∂β
该矩阵描述了误差函数关于β的各个分量的导数。通过求解方程 ∂J/∂β=0，我们可以得到 β 的最优值。
四、代码实现
下面是 Python 中实现非线性最小二乘法的一个例子：
# 导入必要的库
import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares
# 构建非线性方程组
def fun(x, data):
return x[0] * np.sin(x[1] * data + x[2]) + x[3] * np.cos(x[4] * data + x[5]) - data
# 生成实验数据
x_true = np.array([1, 0.1, 0.1, 1, 0.1, 0.1])
t = np.linspace(0, 10, 200)
y_true = fun(x_true, t)
y_meas = y_true + 0.1 * np.random.randn(len(t))
# 定义初始值
x0 = np.array([0.5, 0.2, -0.3, 0.4, -0.5, 0.1])
# 使用非线性最小二乘法进行求解
res_lsq = least_squares(fun, x0, args=(y_meas,))
print(res_lsq.x)
这里我们构建了一个非线性方程组，并使用最小二乘法进行求解。结果将打印出最优值。
