了解Link-Cut树

Link-Cut树是一种基于Splay树的动态树数据结构，可用于解决树形问题的一类动态问题。Link-Cut树的主要优势是可以在$O(logn)$的复杂度内处理树的剖分和重构，被广泛应用于网络流、最近公共祖先、点分治、虚树等算法中的实现，也可以用于树形可持久化数据结构和虚数对复杂度的分析。

一、Link-Cut树的简单介绍

Link-Cut树是由Daniel Sleator和Robert Tarjan在1983年提出的，是一种基于Splay树的可动态维护的树结构。Splay树是一棵维护序列的平衡树，具有以下特点： 1. 可以将一个节点旋转到根节点，以便于对这个节点的操作； 2. 可以在任意两个节点之间构造查询路径，并将查询路径上的节点旋转到根节点； 3. 可以实现节点的分割和合并操作。 Link-Cut树继承了Splay树的所有功能，同时在动态保持树形约束的同时，支持节点间的重构，并且具有线性时间算法。

二、Link-Cut树的基本操作

Link-Cut树对外提供的操作包括： 1. link(u, v)：将节点u和节点v之间连一条无向边； 2. cut(u, v)：将节点u和节点v之间的边断开，将节点u和v分别成为两棵独立的树； 3. access(u)：将节点u到根节点的路径形成一条重链，并且将u变为这条重链的根节点； 4. lca(u, v)：求出节点u和节点v在树上的最近公共祖先。 下面是基本操作的代码实现：

struct Node {
  Node *ch[2], *fa;
  bool rev;
  ... // 其他节点属性和方法
};

void pushdown(Node *u) { // 下传标记，以便于维护链的重构和reverse操作
  if (u->rev) {
    u->rev = false;
    swap(u->ch[0], u->ch[1]);
    if (u->ch[0]) u->ch[0]->rev ^= 1;
    if (u->ch[1]) u->ch[1]->rev ^= 1;
  }
}

bool isroot(Node *u) { // 判断u是否为重链的根节点
  return !u->fa || (u->fa->ch[0] != u && u->fa->ch[1] != u);
}

void rotate(Node *u) { // 旋转操作
  Node *fa = u->fa, *gfa = fa->fa, *heading;
  if (!isroot(fa))
    heading = (gfa->ch[0] == fa ? gfa->ch[0] : gfa->ch[1]);
  else
    heading = fa;
  int dir = (fa->ch[1] == u);
  if (!isroot(u)) u->fa = gfa;
  fa->ch[dir] = u->ch[dir ^ 1];
  if (u->ch[dir ^ 1]) u->ch[dir ^ 1]->fa = fa;
  u->ch[dir ^ 1] = fa;
  fa->fa = u;
  if (!isroot(fa)) heading->ch[fa->fa->ch[1] == fa] = u;
}

void splay(Node *u) { // Splay操作
  static Node *stk[MAXN];
  int top = 0;
  for (Node *v = u; !isroot(v); v = v->fa) stk[top++] = v;
  stk[top++] = u;
  while (top) pushdown(stk[--top]);
  while (!isroot(u)) {
    Node *fa = u->fa, *gfa = fa->fa;
    if (!isroot(fa)) {
      int d1 = (gfa->ch[1] == fa);
      int d2 = (fa->ch[1] == u);
      if (d1 == d2)
        rotate(fa);
      else
        rotate(u);
    }
    rotate(u);
  }
}

void access(Node *u) { // access操作
  for (Node *v = NULL; u; v = u, u = u->fa) {
    splay(u);
    u->ch[1] = v;
  }
}

void makeroot(Node *u) { // 将u变为所在重链的根
  access(u);
  splay(u);
  u->rev ^= 1;
}

void split(Node *u, Node *v) { // 将u到v的连续边切断
  makeroot(u);
  access(v);
  splay(v);
  if (!v->ch[0]) return;
  v->ch[0]->fa = NULL;
  v->ch[0] = NULL;
}

void link(Node *u, Node *v) { // 连边操作
  makeroot(u);
  u->fa = v;
}

void cut(Node *u, Node *v) { // 断边操作
  split(u, v);
  v->fa = NULL;
}

Node *lca(Node *u, Node *v) { // LCA操作
  access(u);
  splay(u);
  Node *last = u, *res = NULL;
  for (Node *p = v; p; last = p, p = p->fa) {
    splay(p);
    if (p->fa == NULL) {
      res = last;
      break;
    }
    p->ch[1] = last;
    last->fa = p;
  }
  return res;
}

三、Link-Cut树的应用

Link-Cut树作为一种简单易用的动态维护树结构的工具，被广泛应用于各种树形问题中，下面列举一些经典的应用场景： 1. 网络流中的建图技巧：Link-Cut树可以用于维护一些必要的切割边，简化网络流的边的建图过程； 2. 最近公共祖先问题：Link-Cut树可以快速求出任意两个节点在一棵树上的最近公共祖先； 3. 点分治问题：Link-Cut树可以用于实现高效的点分治算法，通过将子树分解为链来快速处理点分治中的轻重链剖分问题； 4. 虚树问题：Link-Cut树可以用于维护一棵树的虚树，避免重复计算，并且可以用于树上区间加减和； 5. 树形可持久化数据结构问题：Link-Cut树可以用于构造树形可持久化数据结构，简化一些操作的实现； 6. 虚数对复杂度问题：Link-Cut树可以用于分析虚数对复杂度问题，给出复杂度优秀的算法实现。

结语

本文详细介绍了Link-Cut树的基础知识、基本操作和应用场景，可以帮助读者了解这个经典数据结构的优点和使用方法。同时鉴于篇幅有限，文章中所涉及的问题只是冰山一角，读者可以进一步查阅相关文献，深入研究Link-Cut树的更多细节和应用技巧。