一、基础概念
1、有限元方法是工程结构设计、分析和有关问题求解的强有力的数学工具。
2、其主要思想是将连续物质划分为有限数量的元素，每个元素的代表性质可以用局部方程来描述。
3、元素之间的联合通过在元素边界上给定的条件来实现。
4、有限元方法的主要应用领域包括结构力学仿真、流体力学、电场和磁场分析等。
二、离散化过程
1、将实际物体转化为数字模型，需要进行离散化过程。
// 代码示例
from dolfin import *
mesh = Mesh("geometry.xml")
V = VectorFunctionSpace(mesh, "Lagrange", 1)
u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
a = dot(u, v)*dx
L = Constant((0.0, 0.0, 0.0))
bc = DirichletBC(V, Constant((0.0, 0.0, 0.0)), DomainBoundary())
u = Function(V)
solve(a == L, u, bc)
2、离散化过程中需要将物体分割成多个子区域，通过将整个区域分段，将解决方案简化成多个小部分。
3、每个单元可以用一组局部坐标表示，其在父元素上的位置由几何参考坐标的插值方式确定。
4、在每个元素内部，解决方案可以通过有限单元插值来逼近。
三、框架实现
1、有限元方法的框架实现包括一系列的计算模块，例如网格生成、离散化、求解方程组、后处理等。
// 代码示例
import numpy as np
from scipy import linalg
def stiffness_matrix(num_nodes, elements, areas):
stiffness = np.zeros((num_nodes, num_nodes))
for elem in range(len(elements)):
nodes = elements[elem]
x = nodes[0]
y = nodes[1]
for i in range(2):
for j in range(2):
stiffness[x+i, x+j] += areas[elem]/6
stiffness[x+i, y+j] += areas[elem]/12
stiffness[y+i, x+j] += areas[elem]/12
stiffness[y+i, y+j] += areas[elem]/6
return stiffness
def load_vector(num_nodes, loads):
b = np.zeros(num_nodes)
for load in loads:
b[load[0]] += load[1]
return b
num_nodes = 4
elements = np.array([[0, 1], [1, 2], [1, 3], [2, 3]])
areas = np.array([1, 2, 2, 1])/2
loads = np.array([[0, -10], [3, -10]])
stiffness = stiffness_matrix(num_nodes, elements, areas)
b = load_vector(num_nodes, loads)
u = linalg.solve(stiffness, b)
2、最常用且成熟的框架是FEMM（Finite Element Method Magnetics），它是一个针对磁场分析的有限元程序。
3、FEMM实现了频域解决方案，支持线性和非线性材料模型，同时还能够解决多物理场问题。
四、应用领域
1、有限元方法广泛应用于结构力学仿真、流体力学、电场和磁场分析等领域。
2、在机械工程中，有限元法可用于建立机械结构物体的静力学或动力学模型。
3、在地质学和地球物理学中，有限元法可用于沉积物流、石油地质应用和地震建模。
4、在医学领域，有限元方法可用于计算机模拟植入物行为、组织机械特性和流体力学行为。
