一、前置知识
在讲述矩阵求逆之前,我们需要先了解一下以下几个概念:
1. 矩阵:
matrix = [[1, 2],[3, 4]]
2. 单位矩阵:
import numpy as np
I = np.eye(2)
print(I) #输出 [[1., 0.], [0., 1.]]
3. 逆矩阵:
import numpy as np
matrix = [[1, 2],[3, 4]]
inv_matrix = np.linalg.inv(matrix)
print(inv_matrix) #输出 [[-2. , 1. ], [ 1.5, -0.5]]
二、求逆方法
得到了上述的前置知识,我们就可以开始讲解Python如何求逆矩阵。
Python中求逆矩阵的方法是使用numpy.linalg.inv()
函数。它的参数是输入的矩阵,返回值是该矩阵的逆矩阵。
import numpy as np
matrix = [[1, 2],[3, 4]]
inv_matrix = np.linalg.inv(matrix)
print(inv_matrix) #输出 [[-2. , 1. ], [ 1.5, -0.5]]
上述代码中,我们使用了numpy库中的linalg.inv()
函数求出矩阵的逆,并将结果输出。
需要注意的是:当矩阵不可逆时,linalg.inv()
函数会抛出异常,并提示矩阵不可逆。
三、求逆应用场景
矩阵求逆的应用场景非常广泛,下面列举了一些常见的应用场景。
1. 线性方程组求解
如果我们有一个线性方程组:
2x+3y = 7
4x+5y = 11
可以用矩阵表示为:
#系数矩阵
A = [[2, 3], [4, 5]]
#常数矩阵
B = [[7], [11]]
那么这个方程组的解就可以用逆矩阵来求解:
X = A^(-1)B
其中,X
表示未知数的值,A^(-1)
表示矩阵A
的逆矩阵,B
为常数矩阵。
import numpy as np
A = [[2, 3], [4, 5]]
B = [[7], [11]]
X = np.dot(np.linalg.inv(A),B)
print(X)
上述代码中,我们使用numpy中的dot()
函数计算了乘积A^(-1)B
,得到了方程组的解。
2. 描述二阶变换的矩阵求逆
在图像处理中,矩阵求逆可以描述一类二阶的变换。
我们可以用代码来演示一下旋转90度这个二阶变换的矩阵求逆:
import numpy as np
#原始图像
image = [[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]]
#变换后的图像
new_image = [[7, 4, 1],
[8, 5, 2],
[9, 6, 3]]
#旋转矩阵
rotate_matrix = [[0, -1, 0],
[1, 0, 0],
[0, 0, 1]]
#旋转矩阵的逆矩阵
inv_rotate_matrix = np.linalg.inv(rotate_matrix)
#逆变换后的图像
inv_new_image = np.dot(inv_rotate_matrix, image)
print(inv_new_image)
上述代码中,我们先定义了一个原始图像和变换后的图像,然后定义了旋转矩阵和其逆矩阵。最后用逆矩阵对变换后的图像进行逆变换,得到了原始图像。
3. 数据降维
在机器学习和数据分析中,矩阵求逆也经常用于数据降维。具体来说,就是通过对原始数据矩阵求逆,得到一个降维后的数据矩阵。
下面的代码演示了如何使用矩阵求逆对二维特征进行降维:
import numpy as np
#原始数据矩阵
X = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
#求协方差矩阵
cov_matrix = np.cov(X.T)
print(cov_matrix)
#求逆协方差矩阵
inv_cov_matrix = np.linalg.inv(cov_matrix)
print(inv_cov_matrix)
#降维后的数据矩阵
reduced_data = np.dot(X, inv_cov_matrix)
print(reduced_data)
上述代码中,我们先定义了一个二维的原始数据矩阵,然后通过求协方差矩阵来进行特征降维。具体而言,我们使用numpy
库中的cov()
函数来计算原始数据矩阵的协方差矩阵,然后对协方差矩阵求逆,得到逆协方差矩阵。最后,我们用逆协方差矩阵与原始数据矩阵相乘,得到了降维后的数据矩阵。