一、Givens变换的定义
Givens变换，又叫高斯旋转变换，是一种由正交矩阵构成的矩阵集合，用于在矩阵计算中实现向量的旋转和线性变换。Givens变换可以将一个$n$维向量$x$从第$i$维和第$j$维之间进行旋转变换，使得$\underline{e}_i$变为$\underline{v}$，$\underline{e}_j$变为$\underline{w}$，其中$\underline{e}_i,\underline{e}_j$是$n$维标准正交基向量。
相较于其他变换，Givens变换具有计算简便、精度高等优点，并在很多领域中被广泛使用，如矩阵分解，最小二乘、信号处理、图形处理等领域。
二、Givens变换的构造方法
Givens变换的构造方法主要有两种：直接构造法和反迭代构造法。下面分别对两种构造方法进行说明。
1. 直接构造法
直接构造法是一种通过旋转矩阵来实现Givens变换矩阵的构造方法。假设$\theta$是旋转角度，我们可以构造一个旋转矩阵$G(\theta)$，使得矩阵$x$绕着向量$(\cos\theta,\sin\theta)^T$旋转，进而构造出Givens变换矩阵$G_{ij}$，它旋转的角度$\theta$和旋转轴的位置由输入的参数$i,j$决定。
具体实现代码如下：
def givens_rotation(c, s):
"""
构造一个二维的Givens旋转矩阵
:param c: 余弦值cos(theta)
:param s: 正弦值sin(theta)
:return: 二维的Givens旋转矩阵
"""
return np.array([[c, s], [-s, c]])
def givens_matrix(n, i, j, theta):
"""
构造Givens变换矩阵
:param n: 矩阵的维度
:param i: 旋转轴的位置
:param j: 旋转轴的位置
:param theta: 旋转角度
:return: Givens变换矩阵
"""
c = np.cos(theta)
s = np.sin(theta)
g = givens_rotation(c, s)
# 将旋转矩阵扩充为n维，其中i,j位置上为二维矩阵的元素
mat = np.eye(n)
mat[[i,j], [i,j]] = g
return mat
2. 反迭代构造法
反迭代构造法是一种通过迭代自逆矩阵来实现Givens变换矩阵的构造方法。通过给定一个初始$n*n$方阵$A$，我们可以通过Givens变换将$A$转化为一个上三角矩阵，再通过迭代方法将上三角矩阵逆转为原始矩阵的逆矩阵。基于这种思想，我们可以构造一个反迭代的算法来生成Givens变换矩阵。
具体实现代码如下：
def givens_reduce(a):
"""
使用Givens变换将矩阵a转化为上三角矩阵
:param a: 要转化的方阵
:return: 上三角矩阵
"""
m,n = a.shape
givens_list = []
# 构造上三角矩阵
for j in range(n):
for i in range(j + 1, m):
if a[i,j] != 0:
# 构造Givens变换矩阵
c = a[j,j] / np.sqrt(a[j,j]**2 + a[i,j]**2)
s = a[i,j] / np.sqrt(a[j,j]**2 + a[i,j]**2)
mat = givens_matrix(n, j, i, -s)
a = mat @ a
givens_list.append(mat.T)
return a, givens_list
def givens_inverse(a, givens_list):
"""
使用反迭代方法将上三角矩阵逆转为原始矩阵的逆矩阵
:param a: 上三角矩阵
:param givens_list: Givens变换矩阵列表
:return: 原始矩阵的逆矩阵
"""
n = a.shape[0]
a_inv = np.eye(n)
for mat in reversed(givens_list):
a_inv = mat @ a_inv
return a_inv
三、Givens变换的应用
1. QR分解
QR分解是一种矩阵分解的方法，通过将一个矩阵分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积形式，实现对矩阵运算的简化。Givens变换作为QR分解的一种重要方法，可以通过一系列的Givens旋转将需要分解的矩阵转化为一个上三角矩阵，从而实现QR分解。
具体实现代码如下：
def qr_decomposition(a):
"""
对矩阵a进行QR分解，得到正交矩阵q和上三角矩阵r
:param a: 待分解的矩阵
:return: 正交矩阵q，上三角矩阵r
"""
m, n = a.shape
r, givens_list = givens_reduce(a)
q = givens_inverse(r, givens_list)
q = q.T
return q, r
2. 最小二乘
最小二乘是一种常用的线性回归方法，用于求解数据集中的最优拟合直线。在矩阵计算中，我们可以通过QR分解解决最小二乘问题。
具体实现代码如下：
def least_squares(x, y):
"""
使用QR分解法对最小二乘问题进行求解
:param x: 自变量
:param y: 因变量
:return: 最优拟合直线的系数
"""
m = x.shape[0]
x = np.hstack((np.ones((m, 1)), x))
q, r = qr_decomposition(x)
q1 = q[:, :x.shape[1]]
r1 = r[:x.shape[1], :x.shape[1]]
p = q1.T @ y
pt = p[:x.shape[1]]
return np.linalg.solve(r1, pt)
四、总结
本文详细介绍了Givens变换的概念、构造方法和应用，并给出了相应的python代码实现。Givens变换作为矩阵计算中的常用变换方法，在现代科学和工程中广泛应用，具有重要的理论和实践价值。在今后的学习和实践中，我们应该深入理解Givens变换的原理和应用，灵活运用相关知识，不断扩展自己的知识库，提高自己的能力和竞争力。
