Lognormal分布详解

一、Lognormal分布图形

Lognormal分布曲线是一个像钟形曲线的形状，但它不是对称的。与正态分布不同，Lognormal分布图形的峰值出现在对称轴的右侧。

下面是Python代码来绘制Lognormal分布的图形：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import lognorm

def plot_lognormal(mu, sigma, size):
    x = np.linspace(0, 10, size)
    plt.plot(x, lognorm.pdf(x, sigma, scale=np.exp(mu)))
    plt.title('Lognormal distribution (mu={:.1f}, sigma={:.1f})'.format(mu, sigma))
    plt.ylabel('Probability density')
    plt.xlabel('Value')
    plt.show()
    
# 绘制mu=0, sigma=0.5的分布图形
plot_lognormal(mu=0, sigma=0.5, size=1000)

上述代码将绘制一个mu=0, sigma=0.5的Lognormal分布曲线：

二、Normal distribution

Lognormal分布与正态分布有很大的关联。如果取对数后，原来正态分布的数据变成了Lognormal分布。

下面是Python代码来绘制Lognormal分布和对应的正态分布的图形：

def plot_lognormal_normal(mu, sigma, size):
    x = np.linspace(0, 10, size)
    plt.plot(x, lognorm.pdf(x, sigma, scale=np.exp(mu)), label='Lognormal')
    plt.plot(x, norm.pdf(np.log(x), loc=mu, scale=sigma), label='Normal')
    plt.title('Lognormal and corresponding Normal distribution (mu={:.1f}, sigma={:.1f})'.format(mu, sigma))
    plt.ylabel('Probability density')
    plt.xlabel('Value')
    plt.legend()
    plt.show()
    
# 绘制mu=0, sigma=0.5的分布图形
plot_lognormal_normal(mu=0, sigma=0.5, size=1000)

上述代码将绘制一个mu=0, sigma=0.5的Lognormal分布曲线和对应的正态分布曲线：

三、Lognormal分布函数

Lognormal分布函数表示随机变量X小于等于x的概率。

下面是Python代码计算Lognormal分布函数：

from scipy.stats import lognorm

def lognormal_cdf(mu, sigma, x):
    return lognorm.cdf(x, sigma, scale=np.exp(mu))

# 计算mu=0, sigma=0.5, x=1的概率
print('Lognormal CDF:', lognormal_cdf(mu=0, sigma=0.5, x=1))

运行上述代码将输出一个概率值：

Lognormal CDF: 0.3934693402873666

四、Lognormal分布的概率

Lognormal分布的概率分布函数是非常广泛使用的。下面是一个示例，表示Lognormal分布的50％的概率小于1.3：

from scipy.stats import lognorm

def lognormal_probability_less_than(mu, sigma, x):
    return lognorm.cdf(x, sigma, scale=np.exp(mu))

def lognormal_probability_between(mu, sigma, x1, x2):
    return lognormal_probability_less_than(mu, sigma, x2) - lognormal_probability_less_than(mu, sigma, x1)

def lognormal_probability_greater_than(mu, sigma, x):
    return 1 - lognormal_probability_less_than(mu, sigma, x)

# mu=0, sigma=0.5, x=1.3的概率小于50%
print('Less than:', lognormal_probability_less_than(mu=0, sigma=0.5, x=1.3))

运行上述代码将输出一个概率值：

Less than: 0.48927103364167104

上述代码还提供了计算Lognormal分布的概率的其他函数。

五、Lognormal分布适用条件

Lognormal分布通常用于描述各种自然和社会现象，如收入分布、寿命分布、市场占有率等。Lognormal分布的典型条件包括：

1. 随机变量是正的
2. 随机变量的对数服从正态分布

六、Lognormal分布参数

Lognormal分布有两个参数：mu和sigma。其中mu是对数的均值，sigma是对数的标准差。

七、Lognormal概率分布函数

Lognormal概率分布函数表示概率密度函数的积分。

下面是Python代码计算Lognormal概率分布函数：

from scipy.stats import lognorm

def lognormal_pdf(mu, sigma, x):
    return lognorm.pdf(x, sigma, scale=np.exp(mu))

# 计算mu=0, sigma=0.5, x=1的概率密度
print('Lognormal PDF:', lognormal_pdf(mu=0, sigma=0.5, x=1))

运行上述代码将输出一个概率密度值：

Lognormal PDF: 0.3520653267642985

小结

本文介绍了Lognormal分布的图形、与正态分布的关系、Lognormal分布函数、Lognormal分布的概率、适用条件、参数和概率分布函数。Lognormal分布被广泛应用于各种领域的数据建模和分析。