一、l-bfgs算法介绍
l-bfgs是一种基于拟牛顿法的优化算法，主要用于解决凸函数的最小化问题。相对于传统的梯度下降法，l-bfgs可以快速收敛并且不需要手动设置学习率。l-bfgs算法的核心思想是通过维护近似的海森矩阵B来更新当前的搜索方向。同时，l-bfgs算法对海森矩阵B做出了限制，使得算法的存储和运算复杂度均线性增长。
二、l-bfgs的实现细节
l-bfgs算法的每一次迭代都需要计算目标函数关于自变量的梯度。一般情况下，梯度的计算是算法中最复杂的部分，特别是对于非线性的目标函数而言。在实现l-bfgs算法时，可以通过以下方式来加速梯度计算：
1、使用自动微分库：自动微分可以自动计算目标函数关于自变量的一阶和二阶导数，减少梯度计算的时间。推荐使用Autograd、Jax等开源库。
2、使用批量计算：对于一些数据量较大的问题，在计算梯度时可以考虑将数据分成小批量进行计算，从而提高计算效率。
三、使用l-bfgs的注意事项
1、l-bfgs算法只能求解凸函数的最小值，如果目标函数不是凸函数，可能会导致算法收敛到局部最小值而非全局最小值。
2、l-bfgs算法的收敛性与搜索方向的选择密切相关，不同的搜索方向会对算法的收敛速度产生巨大的影响。在实际应用中，可以采用多种搜索方法，例如线搜索、强Wolfe条件等。
四、l-bfgs算法的代码示例
import autograd.numpy as np
from autograd import grad
def rosen(x):
"""Rosenbrock函数"""
return np.sum(100.0 * (x[1:] - x[:-1] ** 2.0) ** 2.0 + (1 - x[:-1]) ** 2.0)
def minimize(f, x0, maxiter=100):
"""l-bfgs算法实现"""
m = 10 # 记录最近的m次迭代信息
x = x0 # 初始自变量
g = grad(f) # 目标函数的一阶导数
s_list, y_list = [], []
alpha_list, rho_list = [], []
for i in range(maxiter):
g_i = g(x) # 计算当前的梯度
d_i = -g_i # 计算搜索方向
alpha = 1.0
if i > 0:
# 根据历史迭代信息和搜索方向计算alpha
q = g_i
for s, y, rho in zip(s_list[::-1], y_list[::-1], rho_list[::-1]):
alpha = rho * np.dot(s, q)
q -= alpha * y
r = np.dot(y_list[-1], y_list[-1]) / np.dot(y_list[-1], s_list[-1])
z = r * q
for s, y, rho in zip(s_list, y_list, rho_list):
beta = rho * np.dot(y, z)
z += s * (alpha - beta)
d_i = z
# 确定步长
alpha = 0.01
while f(x + alpha * d_i) >= f(x) + 0.001 * alpha * np.dot(g_i, d_i):
alpha *= 0.5
# 更新x
x = x + alpha * d_i
# 记录历史迭代信息
if i > 0:
s_list.append(alpha * d_i - s_list[-1] * rho_list[-1])
y_list.append(g(x) * 1.0 - g_list[-1] * 1.0)
rho_list.append(1.0 / np.dot(y_list[-1], s_list[-1]))
# 判断终止条件
if np.linalg.norm(g_i) < 1e-6:
break
return x
