用JavaScript实现高效下三角矩阵计算

在数学领域，矩阵是一个非常重要的概念。尤其在机器学习、深度学习等领域，矩阵的运算几乎是每个算法都需要涉及到的基本操作。 在矩阵运算中，下三角矩阵也是常见的一种类型。这篇文章将从多个方面介绍如何用JavaScript实现高效的下三角矩阵计算。

一、介绍下三角矩阵

下三角矩阵是指矩阵中下三角区域的所有元素为非零元素，而上三角区域的所有元素为零。下三角矩阵与上三角矩阵类似，只是对角线以下的元素不为零的位置交换了。 下面是一个3×3的下三角矩阵的例子：

 1  0  0
 2  3  0
 4  5  6

从下往上，从左往右依次列出所有非零元素，即为矩阵的下三角。

二、用JavaScript表示下三角矩阵

在JavaScript中，可以通过二维数组表示矩阵。对于下三角矩阵，我们可以只保存下三角区域的元素，而对角线以上的元素可以默认为零。比如，对于上面的3×3矩阵，我们可以用如下的数组表示：

[
  [1, 0, 0],
  [2, 3, 0],
  [4, 5, 6]
]

三、计算下三角矩阵的行列式

计算下三角矩阵的行列式可以用递归法求解。递归的基本情况是对于1×1的下三角矩阵，其行列式就是该元素的值。对于大于1×1的下三角矩阵，可以通过选取一行或一列展开计算其行列式。 下面是用JavaScript实现计算下三角矩阵行列式的函数：

function det(matrix) {
  if (matrix.length === 1) {
    return matrix[0][0]
  }
  
  let result = 0
  for (let i = 0; i < matrix.length; i++) {
    const subMatrix = matrix.slice(1).map(row => row.slice(0, i))
    result += (-1) ** i * matrix[0][i] * det(subMatrix)
  }
  return result
}

该函数首先判断矩阵是否为1×1，如果是，则直接返回该元素的值。否则，遍历该矩阵的一行或一列，选取该元素，计算选取该元素后的子矩阵的行列式，再乘以该元素的系数(-1的幂次方)，最后将所有结果相加即可。

四、计算下三角矩阵的逆矩阵

计算下三角矩阵的逆矩阵可以使用高斯-约旦消元法。具体步骤如下： 1. 将下三角矩阵和单位矩阵拼接在一起，形成一个大矩阵。 2. 对于列向量中的每一个非零元素，通过除以该元素消去该列其他行中的同一位置元素，使该列除该元素外所有元素变为零。 3. 重复第2步，对于每一列都要进行相同的操作。 4. 处理完所有列后，大矩阵的左半部分就会变成单位矩阵，右半部分就是下三角矩阵的逆矩阵。 下面是用JavaScript实现计算下三角矩阵逆矩阵的函数：

function inverse(matrix) {
  const n = matrix.length
  const augMatrix = []
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    augMatrix.push(matrix[i].concat(new Array(n - i - 1).fill(0)).concat([i === n - 1 ? 1 : 0]))
  }
  
  for (let j = 0; j < n; j++) {
    for (let i = j + 1; i < n; i++) {
      const ratio = augMatrix[i][j] / augMatrix[j][j]
      for (let k = j; k < n * 2 - j - 1; k++) {
        augMatrix[i][k] -= ratio * augMatrix[j][k]
      }
    }
  }
  
  for (let j = n - 1; j >= 0; j--) {
    for (let i = j - 1; i >= 0; i--) {
      const ratio = augMatrix[i][j] / augMatrix[j][j]
      for (let k = n * 2 - j - 2; k >= j; k--) {
        augMatrix[i][k] -= ratio * augMatrix[j][k]
      }
    }
  }
  
  const invMatrix = []
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    invMatrix.push(augMatrix[i].slice(n))
  }
  return invMatrix
}

该函数首先构造大矩阵，然后使用高斯-约旦消元法对其进行变换，最后提取逆矩阵。具体实现思路可见函数中的注释。

五、计算下三角矩阵的乘法

下三角矩阵的乘法与一般矩阵乘法类似，只是乘法后的结果只需要保留下三角部分。具体实现可以直接套用矩阵乘法的模板，只是在计算结果矩阵的每个元素时，只保留下三角区域的元素即可。 下面是用JavaScript实现计算下三角矩阵乘法的函数：

function multiply(matrix1, matrix2) {
  const result = []
  for (let i = 0; i < matrix1.length; i++) {
    const row = []
    for (let j = 0; j < matrix2[0].length; j++) {
      let sum = 0
      for (let k = 0; k <= i && k < matrix2.length; k++) {
        sum += matrix1[i][k] * matrix2[k][j]
      }
      row.push(sum)
    }
    result.push(row)
  }
  
  for (let i = 0; i < result.length; i++) {
    for (let j = i + 1; j < result[i].length; j++) {
      result[i][j] = 0
    }
  }
  
  return result
}

该函数首先计算矩阵乘法得到一个一般化的结果矩阵，然后将结果矩阵的上三角部分置为零即可得到下三角矩阵的乘法结果。

总结

本文介绍了如何用JavaScript实现高效的下三角矩阵计算。从表示、行列式、逆矩阵、乘法等方面进行了详细的讲解，并给出了对应的代码示例。对于学习机器学习、深度学习等领域的同学来说，这些知识是非常必要的，也是基础的一部分。