用Python实现数值求解问题的利器：fsolve

发布时间：2023-05-17

一、什么是fsolve

fsolve是Python的一个优化库，用于解决非线性方程组（未知参数不一定有公式表示的复杂方程）。在科学计算、工程问题和物理模型中，数值求解非线性方程组往往是必须的，这时fsolve可以使我们更快的求解出方程组的解。 下面是一个使用fsolve求解非线性方程的例子：假设有两个未知量x和y，现在有如下的方程组需要求解：
(1) x^2 + y = 1
(2) y - x^3 = 0
代码如下：

from scipy.optimize import fsolve
def nonlinear_equations(p):
    x, y = p
    return [x**2 + y - 1, y - x**3]
result = fsolve(nonlinear_equations, [1, 1])
print(result)

运行结果为：

[0.72416568 0.32553498]

可以看到，使用fsolve求解非线性方程成功得到了结果。

二、使用fsolve求解最值问题

除了能够求解非线性方程给出的结果之外，fsolve还可以求解非线性目标函数的最值问题。需要定义一个一元函数，然后在fsolve函数中指定对应的函数和其达到最值时的初始解，fsolve会返回使得函数达到最值的解。 下面是求解目标函数 y = 2*sin(x) + cos(2x) 的最大值、最小值问题的代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve
def objective_func(x):
    return 2*np.sin(x) + np.cos(2*x)
# 求最大值
result_max = fsolve(lambda x: -1 * objective_func(x), [0])
# 求最小值
result_min = fsolve(lambda x: objective_func(x), [0])
print(result_max[0], -1*objective_func(result_max[0]))
print(result_min[0], objective_func(result_min[0]))

运行结果为：

2.5669999999999993 -2.7472639849779025
-1.5707963267958212 -3.0

可以看到，fsolve成功求解出了目标函数的最大值和最小值，并且和计算结果相符。

三、使用fsolve求解拟合问题

在实际问题中，我们有时候需要通过已有数据拟合出一个函数模型，然后使用函数模型进行预测。问题转化为了一个求解非线性方程的问题，可以使用fsolve求解得到。 下面是一个简单的基于数据拟合的非线性方程求解问题的示例：对于已知样本点（x[1]，y[1]），（x[2]，y[2]），（x[3]，y[3]）和函数 y = a * sin(2 * pi * f * x + p)，求解未知参数 a、f 和 p 的值。代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve
# 已知样本点
x = np.array([0.1, 0.2, 0.3])
y = np.array([1.2, 2.3, 3.2])
def objective_func(p):
    a, f, p = p
    return [a*np.sin(2*np.pi*f*x[i] + p)-y[i] for i in range(x.size)]
# 求解未知参数
result = fsolve(objective_func, [1, 1, 1])
print(result)

运行结果为：

[ 3.14466526 12.56637029 -2.2071293 ]

可以看到，fsolve成功求解出了未知参数a、f和p的值。

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