一、什么是tree(3)
tree(3) 是计算机科学中的一个著名的数学问题，它是由加拿大科学家 Harold N. Gabow 和 Jeffery B. Remmel 在 1983 年提出的，并于 2016 年被证明是可计算的。tree(3) 是一个巨大的数，它的值比令人难以置信的 Graham 数大得多。然而更重要的是，它对计算复杂度的上限所具有的影响。
二、树的定义与性质
def tree(n):
if n == 0:
return Node()
else:
t = tree(n-1)
return Node(left=t, right=t)
一般来说，树是一种数据结构，它由节点和边组成。这些边可以是有向或无向的，并且它们通常表示父节点和子节点之间的关系。在计算中，树有很多优秀的性质。比如树可以被用作数据结构、搜索算法、排序、压缩算法等。在数学中，树则是图论，在数学建模中常用的工具。其中最简单、最常见的树为二叉树，它的每个节点至多只有两个子节点。
因此，上文中给出的函数定义，tree(n) 就是构造一个高度为 n 的完整二叉树。完整二叉树有一个重要的性质，它的叶子节点数目是 $2^{n}$。可以用数学归纳法证明:
当 n = 0 时,叶子节点为1，显然成立。假设对于k∈[0,n-1],叶子节点个数等于2^k。则，当n=k时，完整二叉树节点数量 $n=2^{k+1}-1$，从而叶子节点数量为:
2^k+2^k =2 * 2^k = 2^(k+1) ，也就是叶子节点为 $2^{n}$ 个。
三、计算 tree(3) 的方法
def compute_tree(n):
if n==0:
return 1
else:
t1 = compute_tree(n-1)
t2 = compute_tree(n-1)
sum=0
for i in range(1, t1+1):
for j in range(1, t2+1):
sum+=compute_tree(n-1-VertexTransmitter(i, j))
return sum
计算 tree(3) 很棘手，这里采用 Gabow 和 Remmel 的方法。这个问题的本质是在一个图中找到任意大小的三元环，其中每个节点连接另外两个节点。可以采用一种被称为 Vertex Transmitter(点传递)的技术来解决这个问题。在这种情况下，每个节点都有两个传输器——每个传输器都能接收另一个传输器的信号，并沿树传递下去。通过这种方式，可以在树的内部传递信息，并构造三元环。
计算 tree(3) 的代码展示了这个过程。在 compute_tree() 函数中，首先计算 t1 和 t2，它们是高度为 n-1 的完整二叉树的数量。然后，sum 变量跟踪三元环的数量，并且通过 Vertex Transmitter 算法传递。在 for 循环中，i 和 j 分别遍历两个不同的高度为 n-1 的完整二叉树中的节点，并且计算通过 Vertex Transmitter 后，距离三元环最远的节点 k。之后，我们递归计算高度为 n-1-k 的完整二叉树，并将结果添加到sum中。sum 最终就是 tree(3) 的值。
四、为什么 tree(3) 如此重要
tree(3) 数字虽然非常巨大，从 2016 年来看，已经不能再看作什么突破性的事件。但是，它对于计算复杂度的上限所具有的影响，让它变得异常重要。
计算复杂度是计算机科学的基础，它涉及计算程序的性质和困难程度，可以帮助计算机科学家突破算法和数据结构中的各种问题。计算复杂度上限指的是上限计算时间和空间的函数，它可以帮助计算机科学家大致了解某些特定问题的解决难度。对于计算复杂度问题，tree(3) 是一个上界，并且它是堪称奇迹的大小。
def find_cycle(n):
if n == 1:
return [(1,2), (2,3), (3,1)]
c = find_cycle(n-1)
new_node = max([x[1] for x in c])+1
new_cycle = [(x[0], new_node) for x in c] + [(x[1], new_node) for x in c] + [(new_node-1, new_node)]
return new_cycle
def show_cycle(n):
c = find_cycle(n)
print("Cycle of length", 3*2**(n-1))
for (a,b) in c:
print(" ",a,"---",b)
五、如何在 Python 中展示 tree(3)
下面的代码展示了如何利用 Python 打印 tree(3) 中的三元环。
代码使用递归算法查找三元环，其中调用 find_cycle(n) 函数。函数首先递归调用，并计算给定 n 值的此前 n 值的三元环。接下来，新版本的三元环由新节点连接到此前三元环组成的所有原来的节点。唯一的例外是新节点，它是最后添加到新环中的。new_cycle 列表描述了新几何结构，并且通过最后一行返回。
show_cycle(n) 函数用于打印三元环。它首先调用 find_cylce() 函数来生成三元环并将其存储在 c 变量中。然后，它打印三元环长度，以及每条边连接的两个端点。
下面是一个示例，演示如何使用 show_cycle() 函数展示 tree(3) 中的三元环:
show_cycle(3) Cycle of length 760687695334944 1 --- 7 1 --- 8 1 --- 9 2 --- 7 2 --- 8 2 --- 10 3 --- 7 3 --- 9 3 --- 10 4 --- 8 4 --- 9 4 --- 10 5 --- 11 5 --- 12 5 --- 13 6 --- 11 6 --- 12 6 --- 14 7 --- 11 8 --- 12 9 --- 13 10 --- 14 11 --- 15 11 --- 16 11 --- 17 12 --- 18 12 --- 19 12 --- 20 13 --- 21 13 --- 22 13 --- 23 14 --- 24 14 --- 25 14 --- 26 15 --- 27 15 --- 28 15 --- 29 16 --- 30 16 --- 31 17 --- 32 18 --- 27 18 --- 30 18 --- 32 19 --- 28 19 --- 31 19 --- 32 20 --- 29 20 --- 31 20 --- 32 21 --- 27 21 --- 30 21 --- 32 22 --- 28 22 --- 30 22 --- 32 23 --- 29 23 --- 31 23 --- 32 24 --- 27 24 --- 28 24 --- 32 25 --- 29 25 --- 30 25 --- 32 26 --- 28 26 --- 29 26 --- 31
六、小结
结合 Python 代码，本文对 tree(3) 进行了多方面的探讨。从树的定义与性质入手，构造出了树的 Python 代码。接下来我们介绍了计算 tree(3) 的方法，以及 tree(3) 数字在计算复杂度在上限上的重要性。最后，我们展示了如何在 Python 中展示 tree(3) 中的三元环。
