一、高斯赛德尔迭代法公式
对于线性方程组Ax=b，高斯赛德尔迭代公式如下:
A=DLU // A的分解，D为A的对角线矩阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵 x=(D-L)^(-1)Ux+(D-L)^(-1)b // 高斯赛德尔迭代公式
二、高斯赛德尔迭代案例
对于如下线性方程组，使用高斯赛德尔迭代法进行求解：
2x+y+z=2 x+2y+z=3 2x+y+2z=5
对系数矩阵进行分解:
A=[[2,1,1],[1,2,1],[2,1,2]] D=[[2,0,0],[0,2,0],[0,0,2]] L=[[0,0,0],[1/2,0,0],[1,1/3,0]] U=[[0,1/2,1],[0,0,1/3],[0,0,0]]
代入高斯赛德尔迭代公式，并进行迭代，得到x=[1,1,1]。
三、高斯塞德尔迭代法原理
高斯塞德尔迭代法是基于高斯赛德尔迭代法的迭代算法，与高斯赛德尔迭代法相比，其核心区别在于对每次更新变量的更新方式。
对于 Ax=b 的线性方程组，高斯塞德尔迭代法的更新公式为:
x_i=(b_i-sum(Lik*x_k)-sum(Uij*x_j))/Aii, i=1..n, j=1..i-1, k=i+1..n
其中，lik表示第i行，第k列的元素，uij表示第i行，第j列的元素。
四、高斯赛德尔迭代
高斯赛德尔迭代法的特点在于每次更新变量都是使用前一次迭代的结果来更新，这样每次迭代得到的解都会在前一次解的基础上更加靠近真实解。
对于 Ax=b 的线性方程组，使用高斯赛德尔迭代公式可以求出方程的近似解，以下是求解的步骤：
- 初始化向量x0，通常将其设置为全0向量或者随机生成。
- 根据高斯赛德尔迭代公式使用x0计算x1。
- 将x1作为x0，重复执行步骤2直到满足收敛条件。
五、高斯塞德尔迭代法特点
相比于高斯赛德尔迭代法，高斯塞德尔迭代法在收敛速度方面有了更大的提高。因为每次更新变量时都使用了已经更新好的变量，相当于每次迭代的精度都比高斯赛德尔迭代法更高。
六、高斯塞德尔迭代法解题步骤
跟高斯赛德尔迭代法类似，高斯塞德尔迭代法的解题步骤如下：
- 对系数矩阵A进行分解为A=LU，其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，这个分解的方法可以使用高斯消元法。
- 将Ax=b的方程组转化为x=Tx+c的形式，T和c的计算如下：
T=(D-L)^(-1)U, c=(D-L)^(-1)b - 设置初始解x0，通常将其设置为全0向量或者随机生成，然后设置收敛条件，通常使用误差的范数作为收敛条件。比如当L1或者L2范数小于某个值时认为可以停止迭代。
- 使用高斯塞德尔迭代公式计算新的解xk+1，直到满足收敛条件。
七、高斯赛德尔迭代法求解方程组
现给出一个实际的例子，使用高斯赛德尔迭代求解方程组 Ax=b：
3x+y+z=7 x+5y+2z=9 x+y+4z=10
根据高斯赛德尔迭代公式，将系数矩阵A进行分解为：
D=[[3,0,0],[0,5,0],[0,0,4]] L=[[0,0,0],[-1/3,0,0],[-1/3,-1/5,0]] U=[[0,-1/3,-1/3],[0,0,-2/5],[0,0,0]]
代入高斯赛德尔迭代公式：
x1=[0.66666667,1.4,2.4], x2=[1.13333333,1.92,2.504]
由此，我们可以得到该方程组的近似解x=[1.13333333,1.92,2.504]。
八、高斯赛德尔迭代法在中的应用
高斯赛德尔迭代法是求解线性方程组的广泛应用的方法之一。在计算机领域中，高斯赛德尔迭代法常常用来求解大规模线性方程组，并且常常可以结合并行计算的方法来加速求解过程。
九、高斯赛德尔迭代法程序matlab
以下是使用matlab实现高斯赛德尔迭代法的代码：
function [x, error] = gauss_seidel(A, b, max_iter, epsilon)
[m, n] = size(A);
% set initial values
x = zeros(n, 1);
error = zeros(max_iter, 1);
iter = 0;
err = Inf;
while (iter < max_iter) && (err > epsilon)
x_prev = x;
for i=1:m
x(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:n)*x_prev(i+1:n))/A(i,i);
end
iter = iter + 1;
error(iter) = norm(x - x_prev, inf);
err = error(iter);
end
error = error(1:iter);
end
十、高斯塞德尔迭代法的优缺点
高斯塞德尔迭代法的优点是迭代次数比高斯赛德尔迭代法更少，每次迭代的精度更高。同时，高斯塞德尔迭代法对系数矩阵的对角线元素必须非零，对于其他非对角线元素的限制相对比较宽松。
缺点在于高斯塞德尔迭代法并不总能收敛，因此使用前需要对系数矩阵进行判断，如果矩阵的特定条件满足则可以保证收敛性。
