本文目录一览：
- 1、万字教你如何用 Python 实现线性规划
- 2、Python scipy库线性规划如何让变量取整数
- 3、什么是混合整数线性规划(MILP)模型?
- 4、什么叫混合整数线性规划？
- 5、什么是混合整数线性规划模型
万字教你如何用 Python 实现线性规划
想象一下，您有一个线性方程组和不等式系统。这样的系统通常有许多可能的解决方案。线性规划是一组数学和计算工具，可让您找到该系统的特定解，该解对应于某些其他线性函数的最大值或最小值。
混合整数线性规划是 线性规划 的扩展。它处理至少一个变量采用离散整数而不是连续值的问题。尽管乍一看混合整数问题与连续变量问题相似，但它们在灵活性和精度方面具有显着优势。
整数变量对于正确表示自然用整数表示的数量很重要，例如生产的飞机数量或服务的客户数量。
一种特别重要的整数变量是 二进制变量 。它只能取 零 或 一 的值，在做出是或否的决定时很有用，例如是否应该建造工厂或者是否应该打开或关闭机器。您还可以使用它们来模拟逻辑约束。
线性规划是一种基本的优化技术，已在科学和数学密集型领域使用了数十年。它精确、相对快速，适用于一系列实际应用。
混合整数线性规划允许您克服线性规划的许多限制。您可以使用分段线性函数近似非线性函数、使用半连续变量、模型逻辑约束等。它是一种计算密集型工具，但计算机硬件和软件的进步使其每天都更加适用。
通常，当人们试图制定和解决优化问题时，第一个问题是他们是否可以应用线性规划或混合整数线性规划。
以下文章说明了线性规划和混合整数线性规划的一些用例：
随着计算机能力的增强、算法的改进以及更多用户友好的软件解决方案的出现，线性规划，尤其是混合整数线性规划的重要性随着时间的推移而增加。
解决线性规划问题的基本方法称为，它有多种变体。另一种流行的方法是。
混合整数线性规划问题可以通过更复杂且计算量更大的方法来解决，例如，它在幕后使用线性规划。这种方法的一些变体是，它涉及使用 切割平面 ，以及。
有几种适用于线性规划和混合整数线性规划的合适且众所周知的 Python 工具。其中一些是开源的，而另一些是专有的。您是否需要免费或付费工具取决于问题的规模和复杂性，以及对速度和灵活性的需求。
值得一提的是，几乎所有广泛使用的线性规划和混合整数线性规划库都是以 Fortran 或 C 或 C++ 原生和编写的。这是因为线性规划需要对（通常很大）矩阵进行计算密集型工作。此类库称为求解器。Python 工具只是求解器的包装器。
Python 适合围绕本机库构建包装器，因为它可以很好地与 C/C++ 配合使用。对于本教程，您不需要任何 C/C++（或 Fortran），但如果您想了解有关此酷功能的更多信息，请查看以下资源：
基本上，当您定义和求解模型时，您使用 Python 函数或方法调用低级库，该库执行实际优化工作并将解决方案返回给您的 Python 对象。
几个免费的 Python 库专门用于与线性或混合整数线性规划求解器交互：
在本教程中，您将使用SciPy和PuLP来定义和解决线性规划问题。
在本节中，您将看到线性规划问题的两个示例：
您将在下一节中使用 Python 来解决这两个问题。
考虑以下线性规划问题：
你需要找到X和Ÿ使得红色，蓝色和黄色的不平等，以及不平等X 0和ÿ 0，是满意的。同时，您的解决方案必须对应于z的最大可能值。
您需要找到的自变量（在本例中为 x 和 y ）称为 决策变量 。要最大化或最小化的决策变量的函数（在本例中为 z） 称为 目标函数 、 成本函数 或仅称为 目标 。您需要满足的 不等式 称为 不等式约束 。您还可以在称为 等式约束 的约束中使用方程。
这是您如何可视化问题的方法：
红线代表的功能2 X + Ý = 20，和它上面的红色区域示出了红色不等式不满足。同样，蓝线是函数 4 x + 5 y = 10，蓝色区域被禁止，因为它违反了蓝色不等式。黄线是 x + 2 y = 2，其下方的黄色区域是黄色不等式无效的地方。
如果您忽略红色、蓝色和黄色区域，则仅保留灰色区域。灰色区域的每个点都满足所有约束，是问题的潜在解决方案。该区域称为 可行域 ，其点为 可行解 。在这种情况下，有无数可行的解决方案。
您想最大化z。对应于最大z的可行解是 最优解 。如果您尝试最小化目标函数，那么最佳解决方案将对应于其可行的最小值。
请注意，z是线性的。你可以把它想象成一个三维空间中的平面。这就是为什么最优解必须在可行区域的 顶点 或角上的原因。在这种情况下，最佳解决方案是红线和蓝线相交的点，稍后您将看到。
有时，可行区域的整个边缘，甚至整个区域，都可以对应相同的z值。在这种情况下，您有许多最佳解决方案。
您现在已准备好使用绿色显示的附加等式约束来扩展问题：
方程式 x + 5 y = 15，以绿色书写，是新的。这是一个等式约束。您可以通过向上一张图像添加相应的绿线来将其可视化：
现在的解决方案必须满足绿色等式，因此可行区域不再是整个灰色区域。它是绿线从与蓝线的交点到与红线的交点穿过灰色区域的部分。后一点是解决方案。
如果插入x的所有值都必须是整数的要求，那么就会得到一个混合整数线性规划问题，可行解的集合又会发生变化：
您不再有绿线，只有沿线的x值为整数的点。可行解是灰色背景上的绿点，此时最优解离红线最近。
这三个例子说明了 可行的线性规划问题 ，因为它们具有有界可行区域和有限解。
如果没有解，线性规划问题是 不可行的 。当没有解决方案可以同时满足所有约束时，通常会发生这种情况。
例如，考虑如果添加约束x + y 1会发生什么。那么至少有一个决策变量（x或y）必须是负数。这与给定的约束x 0 和y 0相冲突。这样的系统没有可行的解决方案，因此称为不可行的。
另一个示例是添加与绿线平行的第二个等式约束。这两行没有共同点，因此不会有满足这两个约束的解决方案。
一个线性规划问题是 无界的 ，如果它的可行区域是无界，将溶液不是有限。这意味着您的变量中至少有一个不受约束，可以达到正无穷大或负无穷大，从而使目标也无限大。
例如，假设您采用上面的初始问题并删除红色和黄色约束。从问题中删除约束称为 放松 问题。在这种情况下，x和y不会在正侧有界。您可以将它们增加到正无穷大，从而产生无限大的z值。
在前面的部分中，您研究了一个与任何实际应用程序无关的抽象线性规划问题。在本小节中，您将找到与制造业资源分配相关的更具体和实用的优化问题。
假设一家工厂生产四种不同的产品，第一种产品的日产量为x ₁，第二种产品的产量为x 2，依此类推。目标是确定每种产品的利润最大化日产量，同时牢记以下条件：
数学模型可以这样定义：
目标函数（利润）在条件 1 中定义。人力约束遵循条件 2。对原材料 A 和 B 的约束可以从条件 3 和条件 4 中通过对每种产品的原材料需求求和得出。
最后，产品数量不能为负，因此所有决策变量必须大于或等于零。
与前面的示例不同，您无法方便地将其可视化，因为它有四个决策变量。但是，无论问题的维度如何，原理都是相同的。
在本教程中，您将使用两个Python 包来解决上述线性规划问题：
SciPy 设置起来很简单。安装后，您将拥有开始所需的一切。它的子包 scipy.optimize 可用于线性和非线性优化。
PuLP 允许您选择求解器并以更自然的方式表述问题。PuLP 使用的默认求解器是COIN-OR Branch and Cut Solver (CBC)。它连接到用于线性松弛的COIN-OR 线性规划求解器 (CLP)和用于切割生成的COIN-OR 切割生成器库 (CGL)。
另一个伟大的开源求解器是GNU 线性规划工具包 (GLPK)。一些著名且非常强大的商业和专有解决方案是Gurobi、CPLEX和XPRESS。
除了在定义问题时提供灵活性和运行各种求解器的能力外，PuLP 使用起来不如 Pyomo 或 CVXOPT 等替代方案复杂，后者需要更多的时间和精力来掌握。
要学习本教程，您需要安装 SciPy 和 PuLP。下面的示例使用 SciPy 1.4.1 版和 PuLP 2.1 版。
您可以使用pip以下方法安装两者：
您可能需要运行pulptest或sudo pulptest启用 PuLP 的默认求解器，尤其是在您使用 Linux 或 Mac 时：
或者，您可以下载、安装和使用 GLPK。它是免费和开源的，适用于 Windows、MacOS 和 Linux。在本教程的后面部分，您将看到如何将 GLPK（除了 CBC）与 PuLP 一起使用。
在 Windows 上，您可以下载档案并运行安装文件。
在 MacOS 上，您可以使用 Homebrew：
在 Debian 和 Ubuntu 上，使用apt来安装glpk和glpk-utils：
在Fedora，使用dnf具有glpk-utils：
您可能还会发现conda对安装 GLPK 很有用：
安装完成后，可以查看GLPK的版本：
有关详细信息，请参阅 GLPK 关于使用Windows 可执行文件和Linux 软件包进行安装的教程。
在本节中，您将学习如何使用 SciPy优化和求根库进行线性规划。
要使用 SciPy 定义和解决优化问题，您需要导入scipy.optimize.linprog()：
现在您已经linprog()导入，您可以开始优化。
让我们首先解决上面的线性规划问题：
linprog()仅解决最小化（而非最大化）问题，并且不允许具有大于或等于符号 ( ) 的不等式约束。要解决这些问题，您需要在开始优化之前修改您的问题：
引入这些更改后，您将获得一个新系统：
该系统与原始系统等效，并且将具有相同的解决方案。应用这些更改的唯一原因是克服 SciPy 与问题表述相关的局限性。
下一步是定义输入值：
您将上述系统中的值放入适当的列表、元组或NumPy 数组中：
注意：请注意行和列的顺序！
约束左侧和右侧的行顺序必须相同。每一行代表一个约束。
来自目标函数和约束左侧的系数的顺序必须匹配。每列对应一个决策变量。
下一步是以与系数相同的顺序定义每个变量的界限。在这种情况下，它们都在零和正无穷大之间：
此语句是多余的，因为linprog()默认情况下采用这些边界（零到正无穷大）。
注：相反的float("inf")，你可以使用math.inf，numpy.inf或scipy.inf。
最后，是时候优化和解决您感兴趣的问题了。你可以这样做linprog()：
参数c是指来自目标函数的系数。A_ub和b_ub分别与不等式约束左边和右边的系数有关。同样，A_eq并b_eq参考等式约束。您可以使用bounds提供决策变量的下限和上限。
您可以使用该参数method来定义要使用的线性规划方法。有以下三种选择：
linprog() 返回具有以下属性的数据结构：
您可以分别访问这些值：
这就是您获得优化结果的方式。您还可以以图形方式显示它们：
如前所述，线性规划问题的最优解位于可行区域的顶点。在这种情况下，可行区域只是蓝线和红线之间的绿线部分。最优解是代表绿线和红线交点的绿色方块。
如果要排除相等（绿色）约束，只需删除参数A_eq并b_eq从linprog()调用中删除：
解决方案与前一种情况不同。你可以在图表上看到：
在这个例子中，最优解是红色和蓝色约束相交的可行（灰色）区域的紫色顶点。其他顶点，如黄色顶点，具有更高的目标函数值。
您可以使用 SciPy 来解决前面部分所述的资源分配问题：
和前面的例子一样，你需要从上面的问题中提取必要的向量和矩阵，将它们作为参数传递给.linprog()，然后得到结果：
结果告诉您最大利润是1900并且对应于x ₁ = 5 和x ₃ = 45。在给定条件下生产第二和第四个产品是没有利润的。您可以在这里得出几个有趣的结论：
opt.statusis0和opt.successis True，说明优化问题成功求解，最优可行解。
SciPy 的线性规划功能主要用于较小的问题。对于更大和更复杂的问题，您可能会发现其他库更适合，原因如下：
幸运的是，Python 生态系统为线性编程提供了几种替代解决方案，这些解决方案对于更大的问题非常有用。其中之一是 PuLP，您将在下一节中看到它的实际应用。
PuLP 具有比 SciPy 更方便的线性编程 API。您不必在数学上修改您的问题或使用向量和矩阵。一切都更干净，更不容易出错。
像往常一样，您首先导入您需要的内容：
现在您已经导入了 PuLP，您可以解决您的问题。
您现在将使用 PuLP 解决此系统：
第一步是初始化一个实例LpProblem来表示你的模型：
您可以使用该sense参数来选择是执行最小化（LpMinimize或1，这是默认值）还是最大化（LpMaximize或-1）。这个选择会影响你的问题的结果。
一旦有了模型，就可以将决策变量定义为LpVariable类的实例：
您需要提供下限，lowBound=0因为默认值为负无穷大。该参数upBound定义了上限，但您可以在此处省略它，因为它默认为正无穷大。
可选参数cat定义决策变量的类别。如果您使用的是连续变量，则可以使用默认值"Continuous"。
您可以使用变量x和y创建表示线性表达式和约束的其他 PuLP 对象：
当您将决策变量与标量相乘或构建多个决策变量的线性组合时，您会得到一个pulp.LpAffineExpression代表线性表达式的实例。
注意：您可以增加或减少变量或表达式，你可以乘他们常数，因为纸浆类实现一些Python的特殊方法，即模拟数字类型一样__add__()，__sub__()和__mul__()。这些方法用于像定制运营商的行为+，-和*。
类似地，您可以将线性表达式、变量和标量与运算符 ==、=以获取表示模型线性约束的纸浆.LpConstraint实例。
注：也有可能与丰富的比较方法来构建的约束.__eq__()，.__le__()以及.__ge__()定义了运营商的行为==，=。
考虑到这一点，下一步是创建约束和目标函数并将它们分配给您的模型。您不需要创建列表或矩阵。只需编写 Python 表达式并使用+=运算符将它们附加到模型中：
在上面的代码中，您定义了包含约束及其名称的元组。LpProblem允许您通过将约束指定为元组来向模型添加约束。第一个元素是一个LpConstraint实例。第二个元素是该约束的可读名称。
设置目标函数非常相似：
或者，您可以使用更短的符号：
现在您已经添加了目标函数并定义了模型。
注意：您可以使用运算符将 约束或目标附加到模型中，+=因为它的类LpProblem实现了特殊方法.__iadd__()，该方法用于指定 的行为+=。
对于较大的问题，lpSum()与列表或其他序列一起使用通常比重复+运算符更方便。例如，您可以使用以下语句将目标函数添加到模型中：
它产生与前一条语句相同的结果。
您现在可以看到此模型的完整定义：
模型的字符串表示包含所有相关数据：变量、约束、目标及其名称。
注意：字符串表示是通过定义特殊方法构建的.__repr__()。有关 的更多详细信息.__repr__()，请查看Pythonic OOP 字符串转换：__repr__vs__str__ .
最后，您已准备好解决问题。你可以通过调用.solve()你的模型对象来做到这一点。如果要使用默认求解器 (CBC)，则不需要传递任何参数：
.solve()调用底层求解器，修改model对象，并返回解决方案的整数状态，1如果找到了最优解。有关其余状态代码，请参阅LpStatus[]。
你可以得到优化结果作为 的属性model。该函数value()和相应的方法.value()返回属性的实际值：
model.objective持有目标函数model.constraints的值，包含松弛变量的值，以及对象x和y具有决策变量的最优值。model.variables()返回一个包含决策变量的列表：
如您所见，此列表包含使用 的构造函数创建的确切对象LpVariable。
结果与您使用 SciPy 获得的结果大致相同。
注意：注意这个方法.solve()——它会改变对象的状态，x并且y！
您可以通过调用查看使用了哪个求解器.solver：
输出通知您求解器是 CBC。您没有指定求解器，因此 PuLP 调用了默认求解器。
如果要运行不同的求解器，则可以将其指定为 的参数.solve()。例如，如果您想使用 GLPK 并且已经安装了它，那么您可以solver=GLPK(msg=False)在最后一行使用。请记住，您还需要导入它：
现在你已经导入了 GLPK，你可以在里面使用它.solve()：
该msg参数用于显示来自求解器的信息。msg=False禁用显示此信息。如果要包含信息，则只需省略msg或设置msg=True。
您的模型已定义并求解，因此您可以按照与前一种情况相同的方式检查结果：
使用 GLPK 得到的结果与使用 SciPy 和 CBC 得到的结果几乎相同。
一起来看看这次用的是哪个求解器：
正如您在上面用突出显示的语句定义的那样model.solve(solver=GLPK(msg=False))，求解器是 GLPK。
您还可以使用 PuLP 来解决混合整数线性规划问题。要定义整数或二进制变量，只需传递cat="Integer"或cat="Binary"到LpVariable。其他一切都保持不变：
在本例中，您有一个整数变量并获得与之前不同的结果：
Nowx是一个整数，如模型中所指定。（从技术上讲，它保存一个小数点后为零的浮点值。）这一事实改变了整个解决方案。让我们在图表上展示这一点：
如您所见，最佳解决方案是灰色背景上最右边的绿点。这是两者的最大价值的可行的解决方案x和y，给它的最大目标函数值。
GLPK 也能够解决此类问题。
现在你可以使用 PuLP 来解决上面的资源分配问题：
定义和解决问题的方法与前面的示例相同：
在这种情况下，您使用字典 x来存储所有决策变量。这种方法很方便，因为字典可以将决策变量的名称或索引存储为键，将相应的LpVariable对象存储为值。列表或元组的LpVariable实例可以是有用的。
上面的代码产生以下结果：
如您所见，该解决方案与使用 SciPy 获得的解决方案一致。最有利可图的解决方案是每天生产5.0第一件产品和45.0第三件产品。
让我们把这个问题变得更复杂和有趣。假设由于机器问题，工厂无法同时生产第一种和第三种产品。在这种情况下，最有利可图的解决方案是什么？
现在您有另一个逻辑约束：如果x ₁ 为正数，则x ₃ 必须为零，反之亦然。这是二元决策变量非常有用的地方。您将使用两个二元决策变量y ₁ 和y ₃，它们将表示是否生成了第一个或第三个产品：
除了突出显示的行之外，代码与前面的示例非常相似。以下是差异：
这是解决方案：
事实证明，最佳方法是排除第一种产品而只生产第三种产品。
就像有许多资源可以帮助您学习线性规划和混合整数线性规划一样，还有许多具有 Python 包装器的求解器可用。这是部分列表：
其中一些库，如 Gurobi，包括他们自己的 Python 包装器。其他人使用外部包装器。例如，您看到可以使用 PuLP 访问 CBC 和 GLPK。
您现在知道什么是线性规划以及如何使用 Python 解决线性规划问题。您还了解到 Python 线性编程库只是本机求解器的包装器。当求解器完成其工作时，包装器返回解决方案状态、决策变量值、松弛变量、目标函数等。
Python scipy库线性规划如何让变量取整数
scipy做线性规划不是很方便，推荐用pulp来做，这个模块不属于python的内置模块，需要先安装，pip install pulp
from pulp import *
# 设置对象
prob = LpProblem('myProblem', LpMinimize)
# 设置三个变量，并设置变量最小取值
x1 = LpVariable('x1', 0)
x2 = LpVariable('x2', 0)
x3 = LpVariable('x3', 0)
x4 = LpVariable('x4')
# 载入目标函数，默认是求最小值，因此这次对原目标函数乘以-1
prob += 3*x1 - 4*x2 + 2*x3 -5*x4
# 载入约束变量
prob += 4*x1 - x2 + 2*x3 -x4 == -2
prob += x1 + x2 -x3 + 2*x4 = 14
prob += -2*x1 + 3*x2 + x3 -x4 = 2
# 求解
什么是混合整数线性规划(MILP)模型?
混合整数线性规划模型的含义：
线性规划模型(Linear Programming, LP)：LP的定义比较简单，它指的就是目标函数是线性的，所有约束也是线性的，最后，决策变量可以取任何的实数。如果在线性规划问题中有部分决策变量要求必须是整数， 那么这时的规划问题就转变成混合整数线性规划问题了。
也就是说优化问题不止有条件约束，还有整数约束。
要了解什么是混合整数线性规划模型，第一步是要了解什么是线性规划模型(Linear Programming, LP)。LP的定义比较简单，它指的就是目标函数是线性的，所有约束也是线性的，最后，决策变量可以取任何的实数。
举个例子：
超市里头有卖3种食品，玉米，牛奶和面包，价格，所含的维他命A和卡路里的信息见上表。现在的问题是买多少份的玉米，牛奶，面包，使得总价格最低，而维他命A的总摄取量不小于500但不大于50000，卡路里的总摄取量不小于2000但不大于2250。
现在回到之前的问题，如果在线性规划问题中有部分决策变量，比如上面的X_corn要求必须是整数， 那么这时的规划问题就转变成混合整数线性规划问题了。
什么叫混合整数线性规划？
混合整数线性规划是整数线性规划模型的一种。
整数线性规划模型分类:
若I={0,1},J={1,…,n},即全部的决策变量仅取0或1,称之为0-1规划;
若J是{1,2…n}的非空真子集,即仅有部分决策变量要求取整数,称为混合整数线性规划;
若J={1,2,…n},即全部的决策变量都取整数,称为纯整数线性规划;
什么是混合整数线性规划模型
整数规划 integer programming 一类要求问题中的全部或一部分变量为整数的数学规划。 一般认为非线性的整数规划可分成线性部分和整数部分，因此常常把整数规划作为线性规划的特殊部分。在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常要求解答必须是整数。例如，所求解是机器的台数，工作的人数或装货的车数等。为了满足整数的要求，初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。实际上化整后的数不见得是可行解和最优解，所以应该有特殊的方法来求解整数规划。在整数规划中，如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划；如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划。整数规划的一种特殊情形是01规划，它的变数仅限于0或1。 整数规划与组合最优化从广泛的意义上说，两者的领域是一致的，都是在有限个可供选择的方案中，寻找满足一定标准的最好方案。有许多典型的问题反映整数规划的广泛背景。例如，背袋（或装载）问题、固定费用问题、和睦探险队问题（组合学的对集问题）、有效探险队问题（组合学的覆盖问题）、送货问题等。因此整数规划的应用范围也是极其广泛的。它不仅在工业和工程设计和科学研究方面有许多应用，而且在计算机设计、系统可靠性、编码和经济分析等方面也有新的应用。 整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的 ，30多年来发展出很多方法解决各种问题。解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题，称它是原问题的衍生问题。对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题（衍生问题称为松弛问题的源问题）。通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿，即源问题应被舍弃，还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。随即 ，再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。目前比较成功又流行的方法是分枝定界法和割平面法，它们都是在上述框架下形成的。 0—1规划在整数规划中占有重要地位，一方面因为许多实际问题，例如指派问题、选地问题、送货问题都可归结为此类规划，另一方面任何有界变量的整数规划都与0—1规划等价，用0—1规划方法还可以把多种非线性规划问题表示成整数规划问题，所以不少人致力于这个方向的研究。求解0—1规划的常用方法是分枝定界法，对各种特殊问题还有一些特殊方法，例如求解指派问题用匈牙利方法就比较方便。
