一、问题背景
青蛙跳台阶是一道经典的算法问题，在程序员的学习路线中尤为重要。问题描述：一个青蛙可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上n级台阶有多少种跳法。
首先，我们可以通过手动模拟跳台阶的过程，固定第一步跳1级或2级台阶，来找到规律。当跳1级台阶时，剩下的问题就相当于跳上n-1级台阶；当跳2级台阶时，剩下的问题就相当于跳上n-2级台阶。因此，我们可以把跳上n级台阶的跳法看成第一步跳了1级台阶和第一步跳了2级台阶这两种情况的跳法之和。
二、代码实现
public class JumpFloor {
public int jumpFloor(int target) {
if (target <= 2)
return target;
int pre2 = 1, pre1 = 2;
for (int i = 3; i <= target; i++) {
int cur = pre1 + pre2;
pre2 = pre1;
pre1 = cur;
}
return pre1;
}
}
以上是使用Java语言实现青蛙跳台阶问题的代码。在代码中，我们使用了循环来完成从1到n-2的种数计算，并用pre2、pre1和cur分别保存跳到i-2、i-1和i级的总共跳法数，从而完成计算。
三、算法分析
为了分析代码的时间复杂度，我们从递推式入手，设f(n)为跳上n级台阶的跳法种数，则有f(n) = f(n-1) + f(n-2)，而初始值为f(1)=1,f(2)=2。因此，我们可以使用递推方法从f(1)开始逐步计算得到f(n)。至此，我们可以证明此算法的时间复杂度为O(n)，由于运行空间不需要额外的数组或栈空间，空间复杂度为O(1)。
四、优化思路
对于大数问题，我们可以使用矩阵加速法来优化青蛙跳台阶问题的计算时间。假设普通递归法的时间复杂度为O(2^n)，则使用矩阵加速法可以将时间复杂度优化到O(logn)。矩阵加速法的实现较为复杂，在此不进行详细讲述。
