深入理解 Latent Dirichlet Allocation

一、什么是 Latent Dirichlet Allocation

Latent Dirichlet Allocation (LDA) 是一种用于文本主题建模的概率图模型。它假设每个文档是从多个主题中随机生成的，每个主题又由多个单词组成。但是，实际给定的文档，主题和单词都是不知道的，这些变量是潜在变量。LDA 通过训练可以推断出每个文档的主题分布和每个主题内单词分布。

LDA 的模型可以用一个图来表示，如下所示：

digraph {
  rankdir=LR;
  subgraph cluster1 {
     node [style=filled,color=white];
     W1 W2 W3 W4;
     label = "Words";
     fontsize = 16;
  }
  subgraph cluster2 {
     node [style=filled,color=white];
     T1 T2 T3 T4;
     label = "Topics";
     fontsize = 16;
  }
  subgraph cluster3 {
     node [style=filled,color=white];
     D1 D2 D3;
     label = "Documents";
     fontsize = 16;
  }
  subgraph cluster4 {
     node [style=filled,color=lightgrey];
     Z11 Z12 Z13 Z14 Z15;
     label = "Topic Assignments";
     fontsize = 12;
  }
  subgraph cluster5 {
     node [style=filled,color=lightgrey];
     Z21 Z22 Z23 Z24 Z25;
     label = "Topic Assignments";
     fontsize = 12;
  }
  subgraph cluster6 {
     node [style=filled,color=lightgrey];
     Z31 Z32 Z33 Z34 Z35;
     label = "Topic Assignments";
     fontsize = 12;
  }
  D1 -> Z11 -> {T1 T3};
  D1 -> Z12 -> {T2 T4};
  D2 -> Z21 -> {T1 T3};
  D2 -> Z22 -> {T2 T4};
  D3 -> Z31 -> {T1 T2};
  D3 -> Z32 -> {T2 T3};
  D3 -> Z33 -> {T3};
  D3 -> Z34 -> {T3 T4};
  D3 -> Z35 -> {T4};
  {T1 T2 T3 T4} -> W1;
  {T1 T2 T3 T4} -> W2;
  {T1 T2 T3 T4} -> W3;
  {T1 T2 T3 T4} -> W4;
}

这张图中，表示一篇文档 $D_i$ 是由一个主题集合 $\{T_1, T_2, ..., T_k\}$ 中各个主题按一定概率组合而成的。每个主题 $T_i$ 都是一个单词集合 $\{w_1, w_2, ..., w_n\}$，生成主题的过程类似于文档到主题的过程，即每个单词 $w_j$ 按一定概率被分配到某个主题 $T_i$ 上。

二、LDA 模型的数学推导

为了更好地理解 LDA，我们需要了解一下 Dirichlet 分布，它是 LDA 模型中的一个关键概率分布。

2.1 Dirichlet 分布

Dirichlet 分布是一种多元随机变量分布，它的一维形式是 Beta 分布。Dirichlet 分布是一个 $K$ 维概率分布向量 $\boldsymbol{\theta}=\{\theta_1, \theta_2, ..., \theta_K\}$ 的概率密度函数，公式如下：

$$ p(\boldsymbol{\theta}|\boldsymbol{\alpha})=\frac{1}{B(\boldsymbol{\alpha})}\prod_{k=1}^{K}\theta_k^{\alpha_k-1} $$

其中 $\boldsymbol{\alpha}$ 是一个 $K$ 维向量，称为 Dirichlet 分布的超参数，它控制了分布的形态。

对于一个概率分布 $\boldsymbol{\theta}$，如果 $\alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_K=1$，则称这个分布是均匀分布。

那么 Dirichlet 分布有什么应用呢？在 LDA 模型中，每个主题的单词分布和每个文档的主题分布都可以看作是一个 Dirichlet 分布的实现。

2.2 Gibbs Sampling

Gibbs Sampling 是一种基于马尔科夫链 Monte Carlo 方法，用于从复杂分布中采样的技术。在 LDA 模型中，我们使用 Gibbs Sampling 算法从后验概率分布中采样文档的主题分布和主题的单词分布。

Gibbs Sampling 算法有以下几个步骤：

1. 随机选择一个文档 $D_i$ 和一个词 $w_{ij}$；
2. 从 $D_i$ 中移除 $w_{ij}$；
3. 通过后验概率计算 $w_{ij}$ 属于每个主题的概率，即 $p(z_{ij}=k|z_{-ij},w)$；
4. 根据上一步计算出的概率，采样一个新的主题 $k_{new}$；
5. 将 $w_{ij}$ 分配到 $k_{new}$ 中；
6. 重复上述步骤多次，采样到的文档的主题分布和主题的单词分布就是后验概率分布中的一个样本。

2.3 LDA 模型的推导

了解了 Dirichlet 分布和 Gibbs Sampling 算法之后，来看一下 LDA 模型的数学推导。

我们假设有 $K$ 个主题，每个主题由一个概率向量 $\boldsymbol{\phi_k}$ 表示，其中第 $j$ 个元素 $\phi_{kj}$ 表示主题 $k$ 中单词 $j$ 的概率。

每个文档 $D_i$ 由一个主题分布向量 $\boldsymbol{\theta_i}$ 表示，其中第 $k$ 个元素 $\theta_{ik}$ 表示文档 $D_i$ 中主题 $k$ 出现的概率。

在给定主题 $\boldsymbol{\phi_k}$ 和文档主题分布 $\boldsymbol{\theta_i}$ 的情况下，单词 $w_{ij}$ 属于主题 $k$ 的概率可以通过以下公式计算：

$$ p(z_{ij}=k|w_{ij},\boldsymbol{\phi_k},\boldsymbol{\theta_i})=\frac{\phi_{kw_{ij}}\theta_{ik}}{\sum_{l=1}^{K}\phi_{lw_{ij}}\theta_{il}} $$

其中，$z_{ij}$ 表示单词 $w_{ij}$ 的主题分配，即 $z_{ij}=k$ 表示 $w_{ij}$ 属于主题 $k$。

对于给定的文档集 $\boldsymbol{D}$，我们希望求得主题分布 $\boldsymbol{\theta}$ 和主题的单词分布 $\boldsymbol{\phi}$，使得每篇文档 $\boldsymbol{d_i}$ 的单词序列 $\boldsymbol{w_i}$（其中每个单词 $w_{ij}$ 属于某个主题 $z_{ij}$）的生成概率最高：

$$ p(\boldsymbol{D}|\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=\prod_{i=1}^{M}p(\boldsymbol{d_i}|\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=\prod_{i=1}^{M}\int_{\boldsymbol{\theta}}\sum_{\boldsymbol{z}}p(\boldsymbol{d_i}|\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\beta})p(\boldsymbol{\theta}|\boldsymbol{\alpha})p(\boldsymbol{z}|\boldsymbol{\theta})d\boldsymbol{\theta} $$

其中 $\boldsymbol{\alpha}$ 和 $\boldsymbol{\beta}$ 都是 Dirichlet 分布的超参数。

对于某个文档 $\boldsymbol{d_i}$，我们可以使用 Gibbs Sampling 迭代得到 $T$ 个样本 $\{\boldsymbol{\theta_i^{(t)}},\boldsymbol{z_i^{(t)}}\}$。在得到所有文档的 $T$ 个样本之后，我们可以针对每个单词 $w_{ij}$，计算它所属主题的分布 $p(z_{ij}=k|\boldsymbol{D})$，这个分布即为 LDA 模型的推断结果。

三、LDA 实现

3.1 数据预处理

在实现 LDA 之前，我们需要对文本数据进行预处理，包括分词、去停用词、词干提取等。这里我们以新闻数据集为例，通过 Python 中的 NLTK 库进行文本预处理。

import nltk
from nltk.tokenize import word_tokenize
from nltk.corpus import stopwords
from nltk.stem.porter import PorterStemmer

nltk.download('stopwords')
nltk.download('punkt')

def preprocess(text):
    tokens = word_tokenize(text)
    stop_words = set(stopwords.words('english'))
    tokens = [w for w in tokens if not w.lower() in stop_words]
    stemmer = PorterStemmer()
    tokens = [stemmer.stem(w) for w in tokens]
    return tokens

# 读取文件
with open('news.txt', 'r') as f:
    raw_text = f.read()

# 预处理文本
tokens = preprocess(raw_text)

3.2 构建词典

在 LDA 中，我们需要构建一个词典，将词语映射为整数。这个词典的大小决定了单词分布的维度。我们可以在文本预处理的过程中，统计每个单词出现的次数，然后通过给每个单词分配一个唯一的整数来构建词典。

# 构建词典
vocab = {}
for word in tokens:
    if word not in vocab:
        vocab[word] = len(vocab)

3.3 计算单词分布

在 LDA 中，单词的分布与主题的分布同等重要。我们需要计算每个主题中每个单词的概率分布。这里我们仍然使用词频作为单词分布的度量，即对于主题 $k$ 中的单词 $w_j$，其概率为：

$$ \phi_{kj}=\frac{n_{kj}}{\sum_{j=1}^{W}n_{kj}} $$

其中，$n_{kj}$ 表示主题 $k$ 中单词 $w_j$ 出现的次数，而分母则是主题 $k$ 中的总单词数。

import numpy as np

# 初始化单词分布
K = 10  # 主题数
W = len(vocab)  # 词汇量
beta = np.ones((K, W))  # 每个主题的单词分布
for k in range(K):
    for w in range(W):
        beta[k, w] += np.sum(n[k, vocab_inv[w], :])
    beta[k, :] /= np.sum(beta[k, :])

3.4 计算文档主题分布

在 LDA 中，我们还需要计算每篇文档的主题分布。这可以通过 Gibbs Sampling 算法得到。我们初始化文档主题分布为一个均匀分布，然后迭代多次，使得文档