一、基础概念
Markov Decision Process（MDP）是以马尔科夫过程为基础，加入决策变量而形成的数学模型。它主要包含以下成分：
状态（State）：描述系统当前的所有状态，可能是一维或多维向量。在某一时刻，系统处于某个具体的状态。
决策（Decision）：指当前状态下拟采取的行动或策略。决策的选择受到限制，如有些状态下只有一个可选择的决策，有些则有多个不同的决策可供选择。
奖励（Reward）：在当前状态下，由于做出该决策所获得的收益或者价值。
转移概率（Transition Probability）：指在某个状态下，执行某个决策转移到另一个状态的概率。在马尔科夫过程中，当前状态的下一个状态仅与当前状态相关，与之前的状态和决策无关。
MDP模型可以用以下状态转移矩阵表示：
s1 s2 s3 ... sn a1,s1 -> s'1 p11 p12 p13 ... p1n a1,s2 -> s'2 p21 p22 p23 ... p2n a1,s3 -> s'3 p31 p32 p33 ... p3n ... ... ... ... ... ... a1,sn -> s'n pn1 pn2 pn3 ... pnn a2,s1 -> s'1 q11 q12 q13 ... q1n a2,s2 -> s'2 q21 q22 q23 ... q2n a2,s3 -> s'3 q31 q32 q33 ... q3n ... ... ... ... ... ... a2,sn -> s'n qn1 qn2 qn3 ... qnn ... ... ... ... ... am,s1 -> s'1 r11 r12 r13 ... r1n am,s2 -> s'2 r21 r22 r23 ... r2n am,s3 -> s'3 r31 r32 r33 ... r3n ... ... ... ... ... ... am,sn -> s'n rm1 rm2 rm3 ... rmn
其中，$s_i$表示第$i$个状态，$a_j$表示第$j$个决策，$s'_k$表示第$k$个状态。$p_{i,k}$表示在状态$s_i$下，执行决策$a_1$，转移到状态$s'_k$的概率；$q_{i,k}$表示在状态$s_i$下，执行决策$a_2$，转移到状态$s'_k$的概率；$r_{i,k}$表示在状态$s_i$下，执行决策$a_m$，转移到状态$s'_k$的概率。
二、价值函数
价值函数是MDP中的一个核心概念，用于评价某个状态或状态集合的价值，即在这个状态或状态集合下，执行某个策略所能获得的期望奖励。
具体来说，对于某个状态$s$，我们定义它的价值函数为$V(s)$，表示在状态$s$下，执行我们所选择的策略能够获得的期望奖励。进一步地，我们可以将所有状态的价值函数组合成一个向量：
$$ V = [V(s_1), V(s_2), ..., V(s_n)]^T $$同样，对于某个状态$s$和一个决策$a$，我们定义它的价值函数为$Q(s,a)$，表示从状态$s$开始，采取决策$a$，以后策略的预期收益。进一步地，我们可以将所有状态和所有决策的价值函数组合成一个$nxm$维的矩阵$Q$：
$$ Q = \begin{bmatrix} Q(s_1,a_1) & Q(s_1,a_2) & ... & Q(s_1,a_m) \\ Q(s_2,a_1) & Q(s_2,a_2) & ... & Q(s_2,a_m) \\ ... & ... & ... & ... \\ Q(s_n,a_1) & Q(s_n,a_2) & ... & Q(s_n,a_m) \end{bmatrix} $$三、策略（Policy）
策略指从状态到决策的映射，即在每个状态下采取哪个决策。如果策略是确定性策略，那么对于同一个状态，总是选择相同的决策；如果是随机策略，那么在相同的状态下，每个决策的选择是按一定概率分布随机选择的。
我们可以使用$\pi(a|s)$表示从状态$s$开始采取决策$a$的概率。同时，我们也可以使用$\pi$来表示整个MDP中的策略，即$pi = [\pi(a|s_1), \pi(a|s_2), ..., \pi(a|s_n)]$，其中$s_1, s_2, ..., s_n$是所有可能的状态。
四、MDP的求解
1. 值迭代
值迭代是解决MDP的最简单的方法。它的思路很简单：我们从某个初始状态开始，按照某个策略，不断地更新当前状态的价值函数，直到价值函数不再变化。这时，我们可以得到这个策略的“最优”价值函数。因此，我们可以选择每个状态中最具有代表性的决策，组成一个最优策略。该过程中，我们使用式子（1）来更新价值函数：
$$ V(s) = \max_{a_i \in A(s)}\sum_{s'\in S}p(s' | s, a_i) [ R(s, a_i, s') + \gamma V(s') ] $$其中，$A(s)$表示在状态$s$下可选择的决策的集合，$p(s'|s,a_i)$表示根据$s$和$a_i$转移到$s'$的概率，$R(s,a_i,s')$表示在状态$s$下执行决策$a_i$转移到状态$s'$时所获得的奖励，$\gamma$表示考虑未来远期收益的折扣因子。
2. 策略迭代
策略迭代是一种交替进行策略评估和策略改进的算法。在每轮迭代中，首先通过与当前策略不同的一些策略，计算出它们的价值函数，然后根据新的价值函数来改进策略，最后返回一个新的策略。迭代循环直到策略收敛。在策略评估过程中，有两种方法用来计算一个策略的价值函数。一种是采用而非确定性策略（stochastic policy），计算价值函数时考虑采用每个决策的概率。另一种是采用确定性策略（deterministic policy）。
下面是策略迭代的代码示例：
import numpy as np
# 策略评估
def policy_evaluation(transitions, policy, gamma=1.0, theta=0.00001):
num_states = transitions.shape[0]
V = np.zeros(num_states)
while True:
delta = 0
for state in range(num_states):
v = 0
for action, next_states in enumerate(transitions[state]):
for next_state in next_states:
prob, reward = next_state[0], next_state[1]
v += policy[state][action] * prob * (reward + gamma * V[next_state[2]])
delta = max(delta, abs(v - V[state]))
V[state] = v
if delta < theta:
break
return np.array(V)
# 策略改进
def policy_improvement(transitions, policy_eval_fn=policy_evaluation, gamma=1.0):
num_states, num_actions = transitions.shape[0], transitions.shape[1]
policy = np.ones([num_states, num_actions]) / num_actions
while True:
policy_stable = True
value_function = policy_eval_fn(transitions, policy, gamma)
for state in range(num_states):
chosen_action = np.argmax(policy[state])
action_values = np.zeros(num_actions)
for action in range(num_actions):
for next_state in transitions[state][action]:
prob, reward = next_state[0], next_state[1]
action_values[action] += prob * (reward + gamma * value_function[next_state[2]])
best_action = np.argmax(action_values)
if chosen_action != best_action:
policy_stable = False
policy[state] = np.eye(num_actions)[best_action]
if policy_stable:
return policy, value_function
五、总结
本文介绍了MDP的基本概念，包括状态、决策、奖励和转移概率，在此基础上进一步介绍了价值函数和策略的概念。接着，我们讨论了两种常用的MDP求解方法：值迭代和策略迭代。值迭代通过不断找到最大价值函数来推导出最优决策。而策略迭代则通过不断改进策略，来得出最优策略。最后，我们给出了策略评估和策略改进的示例代码。
