层次分析法公式细解

一、基本介绍

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是美国运筹学家托马斯 沙里特在20世纪70年代提出的一种系统性分析和综合各种复杂对立因素的数学方法。

AHP法的基本思想是：对于一个复杂的问题或决策，在分解为若干个具有层次结构的因素因子之后，采用数学和逻辑方法对各个因素进行分析，得出权重或得分，最后进行综合评价。

二、算法详解

AHP法的基本公式是：

            A x W = λ x W

A表示因素间的关系矩阵，W表示待求的判断矩阵，λ表示特征向量，也就是权向量。具体求解过程如下：

1、建立判断矩阵W。以判断A和B哪个更重要为例，首先设定一组值比如A比B更重要则设W[1][2] = 3，B比A更重要则设W[2][1] = 1/3，对角线上的值都为1。

        1     3    5
W =  1/3    1    2
     1/5  1/2   1

2、计算判断矩阵W的特征向量λ。通过求解特征方程(A-λI)x=0，得到λ1=3.15, λ2=0.11, λ3=0.02，将其标准化得到：

        0.732
λ =    0.261
       0.054

3、计算权重向量W。将判断矩阵W的每一行或每一列的元素相加并除以元素个数得到：

        0.512
W =    0.307
       0.181

4、进行一致性检验。通过计算随机一致性指标RI与一致性比例CR，并将CR与预设的阈值比较，以判断判断矩阵W的可信度。

三、应用领域

层次分析法可以应用于决策分析、工程设计、投资规划、市场研究、科学研究等领域。

举个简单例子，比如在制定一个旅游计划时，需要考虑各个景点之间的重要程度和游玩时间。可以将每个景点作为因素，判断矩阵W表示每个景点之间的重要程度以及游玩时间的长短，通过AHP方法计算出每个景点的权重值从而制定出最佳旅游计划。

四、优缺点

AHP法的优点在于可以处理复杂对立因素的决策问题，可以得到相对可靠的决策结果。同时，算法简单易懂，适用范围广泛。

但是，AHP法也存在一些缺点，比如需要人为设定判断矩阵W的值，存在主观性；同时，在实际操作中，一致性检验的部分也容易出现错误。

五、总结

层次分析法公式是复杂问题决策分析的一种常用方法，通过建立判断矩阵、计算特征向量、权重向量，得到最终的决策结果。应用广泛，但需要注意算法的局限性以及一致性检验的重要性。