LU分解法

发布时间：2023-05-19

一、LU分解法解线性方程组

线性方程组是数学中的一种基本问题，LU分解法是解决线性方程组的方法之一。LU分解能够将原问题分解成两个相对简单的问题，通过解决这两个问题，从而得到原问题的解。LU分解法的主要思想是将系数矩阵拆分为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU。由此，可以将解线性方程组的问题转化为解L和U两个三角形矩阵的问题。

二、LU分解法实验原理

在矩阵A进行LU分解时，首先将A进行行变换，使矩阵的元素A[1][1]是所有第一列元素中绝对值最大的，然后通过消元的方式求出L和U。其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。

void lu(double A[N][N], double L[N][N], double U[N][N], int n) {
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        L[i][i] = 1;  // 对角线上的数为1
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = i; j < n; j++) {
            sum = 0;
            for (int k = 0; k < i; k++) {
                sum += L[i][k] * U[k][j];  // 上三角U
            }
            U[i][j] = A[i][j] - sum;
        }
        for (int j = i; j < n; j++) {
            sum = 0;
            for (int k = 0; k < i; k++) {
                sum += L[j][k] * U[k][i];  // 下三角L
            }
           L[j][i] = (A[j][i] - sum) / U[i][i];
        }
    }
}

三、LU分解法怎么求L和U

对于矩阵A进行LU分解求解L和U的过程，可以通过消元的方式得到。下面是具体的求解过程。

  • 先将A[1][1]所在列的元素中绝对值最大的一行与第一行互换位置。即找到A[i][1]的最大值
  • 通过消元的方式求出U中的第一行，即U[1]
  • 通过消元的方式求出L中的第一列，即L[,1]
  • 通过消元的方式求出U中的第二行，即U[2]
  • 通过消元的方式求出L中的第二列，即L[,2]
  • 重复以上过程，直到求出所有的L和U

四、LU分解法怎么求L

对于矩阵A进行LU分解求解L的过程，可以通过消元的方式得到。具体求解过程如下：

  • 先将A[1][1]所在列的元素中绝对值最大的一行与第一行互换位置。即找到A[i][1]的最大值
  • 通过消元的方式求出L中的第一列，即L[,1]
  • 通过消元的方式求出L中的第二列，即L[,2]
  • 重复以上过程，直到求出所有的L
void LU_L(double U[N][N], double L[N][N], int n){
    for (int k = 0; k < n; k++)
    {
        for (int i = k; i < n; i++)  // 消元列
        {
            double sum = 0;
            for (int p = 0; p < k; p++)
            {
                sum += L[i][p] * U[p][k];
            }
            L[i][k] = U[i][k] - sum;
        }
    }
}

五、LU分解法步骤

在进行LU分解的过程中，需要准备初始矩阵A、下三角矩阵L和上三角矩阵U三个参数。具体分解步骤如下：

  • 将初始矩阵A进行行变换，使矩阵的元素A[1][1]是所有第一列元素中绝对值最大的
  • 通过消元的方式求出U中的第一行，即U[1]
  • 通过消元的方式求出L中的第一列，即L[,1]
  • 通过消元的方式求出U中的第二行，即U[2]
  • 通过消元的方式求出L中的第二列，即L[,2]
  • 重复以上过程，直到求出所有的L和U

六、LU分解法的求解的结果分析

通过LU分解法，可以得到线性方程组的解。当L和U得到后，使用前向代入和后向代入的方式就能够求解。因此，LU分解法的主要优点在于求解效率高，解题过程也比较直观。

七、LU分解法条件

LU分解法要求矩阵A的行列式不为0，即矩阵可逆。否则，该方法将无法求解方程组。

八、LU分解法实验目的

通过对LU分解法的学习，能够掌握线性方程组的解法。同时，能够借助LU分解法对数据进行矩阵分解，并应用于其他数学问题的解决中。

九、LU分解法例题

假设要求解线性方程组：

2x1 + 4x2 - 2x3 = 2
4x1 + 9x2 - 3x3 = 8
-2x1 - 3x2 + 7x3 = 10

int main() {
    double A[N][N] = {{2, 4, -2}, {4, 9, -3}, {-2, -3, 7}};
    double L[N][N], U[N][N];
    int n = 3;
    lu(A, L, U, n);
    LU_L(U, L, n);
    double b[N] = {2, 8, 10};
    double y[N], x[N];
    func1(L, y, b, n);
    func2(U, x, y, n);
    printf("L矩阵：\n");
    print_matrix(L, n);
    printf("U矩阵：\n");
    print_matrix(U, n);
    printf("解为：\n");
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        printf("x%d = %lf\n", i + 1, x[i]);
    }
    return 0;
}

十、LU分解法公式选取

LU分解法的公式如下：

  • A = LU
  • L[i][i] = 1
  • U[i][j] = A[i][j] - ∑(k=1)^(i-1) L[i][k] * U[k][j], i <= j
  • L[i][j] = (A[i][j] - ∑(k=1)^(j-1) L[i][k] * U[k][j]) / U[j][j], i > j
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