二维线段树详解

一、什么是二维线段树

线段树是一种数据结构，它可以对一维的区间进行查询和修改操作。一维线段树本质上就是一棵二叉树，每个节点代表一个区间。而二维线段树则通过拆分成若干个一维线段树解决二维区间的查询问题。 在二维平面上建立一棵平衡二叉树，节点数为 $O(n\log n)$，并且使每个节点代表的区域是相等的。每个节点存储这个区域的信息。每个节点代表一个矩形，在其儿子节点中将该矩形分成四个区域。具体实现时，只需要在每个节点记录它的儿子节点的编号即可。

const int MAXN = 1e3;
struct node {
    int data;
    int l, r, d, u; // 左边界，右边界，下边界，上边界
    int son[4];
} tree[MAXN*MAXN];
int root = 1, tot = 1;
// 区间查询
int query(int p, int l, int r, int d, int u) {
    if(p == 0) return 0;
    if(l <= tree[p].l && tree[p].r <= r && d <= tree[p].d && tree[p].u <= u) return tree[p].data;
    int res = 0;
    int midx = (tree[p].l+tree[p].r)/2, midy = (tree[p].d+tree[p].u)/2;
    if(l <= midx && d <= midy) res += query(tree[p].son[0], l, r, d, u);
    if(r > midx && d <= midy) res += query(tree[p].son[1], l, r, d, u);
    if(l <= midx && u > midy) res += query(tree[p].son[2], l, r, d, u);
    if(r > midx && u > midy) res += query(tree[p].son[3], l, r, d, u);
    return res;
}

二、二维线段树在常见问题中的应用

二维线段树的常见用途有区间查询和矩阵求和。在一个 $N\times M$ 的矩阵中，选择若干个位置的数，并将它们全部加起来，问题可以转化为查询某些行和列的区间和。使用二维线段树可以将时间复杂度从 $O(NM)$ 优化到 $O((N+Q)\log^2N)$，其中 $Q$ 为查询次数。

三、使用二维线段树进行优化

在二维线段树中，每个节点代表一块区间，节点内存储了这一块区间内的数据。对于第一维的数据，我们可以直接将其放在第一维的线段树上。而对于第二维的数据，我们可以开一个另外的数组来存储。在查询、修改时，二者都会同时被更新。 比如在一个二维平面上，给定点 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$，查询这两个点构成的矩形中所有点的权值和。我们可以维护两棵线段树，分别对第一维和第二维进行建树。查询操作时，时间复杂度为 $O(\log^2n)$。

const int MAXN = 1e3;
struct node {
    int data;
    int l, r, son[2];
} tr[MAXN*4][MAXN*4];
int n;
void buildy(int x, int p, int l, int r) {
    if(l == r) {
        // 对于每个叶子节点，开一个数组储存值
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            tr[x][p].data += val[i][l];
        }
        return;
    }
    int m = (l+r)/2;
    tr[x][p].l = l, tr[x][p].r = r;
    buildy(x, p*2, l, m);
    buildy(x, p*2+1, m+1, r);
    tr[x][p].data = tr[x][p*2].data+tr[x][p*2+1].data;
}
void buildx(int p, int l, int r) {
    if(l == r) {
        buildy(p, 1, 1, n);
        return;
    }
    int m = (l+r)/2;
    tr[p][0].l = l, tr[p][0].r = r;
    buildx(p*2, l, m);
    buildx(p*2+1, m+1, r);
    for(int i = 1; i <= 4*n; i++) {
        tr[p][i].r = tr[p][0].r;
        tr[p][i].l = tr[p][0].l;
    }
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 1; j <= 3; j++) {
            tr[p][i*4+j].son[0] = (i*4+j-4)*2+1;
            tr[p][i*4+j].son[1] = (i*4+j-4)*2+2;
            tr[p][i*4+j].data = tr[p][i*4+j].data+tr[p][i*4+j].son[0]->data+tr[p][i*4+j].son[1]->data;
        }
    }
}
int queryy(int x, int p, int l, int r, int d, int u) {
    if(d <= tr[x][p].l && tr[x][p].r <= u) {
        return tr[x][p].data;
    }
    int m = (tr[x][p].l+tr[x][p].r)/2, res = 0;
    if(d <= m) res += queryy(x, p*2, l, r, d, u);
    if(u > m) res += queryy(x, p*2+1, l, r, d, u);
    return res;
}
int queryx(int p, int l, int r, int d, int u, int dl, int ur) {
    if(dl <= l && r <= ur) {
        return queryy(p, 1, dl, ur, d, u);
    }
    int m = (l+r)/2, res = 0;
    if(dl <= m) res += queryx(p*2, l, m, d, u, dl, ur);
    if(ur > m) res += queryx(p*2+1, m+1, r, d, u, dl, ur);
    return res;
}

四、小结

二维线段树的常见应用有区间查询和矩阵求和。它将单维线段树的思想扩展至二维，拆分成多个一维线段树，从而可以优化查询的时间复杂度，减少不必要的计算。在实际应用中，可以将第一维和第二维分别使用不同的数据结构，来达到更好的效果。