详解FunkSVD算法

一、FunkSVD算法原理

FunkSVD 算法是一种基于矩阵分解模型的协同过滤算法，其核心思想是基于用户和物品之间的关联关系，将用户-物品矩阵分解为用户和物品两个矩阵的乘积，再通过矩阵乘法计算出每个用户对每个物品的评分得分，从而实现推荐系统的效果。

假设有 m 个用户 u1, u2, ... , um，n 个物品 i1, i2, ... , in，用户-物品矩阵为 R(mxn)，其中 R[i][j] 表示用户 i 对物品 j 的评分得分，分值为 1~5 分。FunkSVD 算法采用矩阵分解模型，通过分解用户-物品矩阵，得到两个分解矩阵：用户特征矩阵 P(mxr) 和物品特征矩阵 Q(nxr)，其中 r 为低维特征向量的个数，P 矩阵表示用户对各个特征的喜好程度，Q 矩阵表示各个物品在不同的特征上的得分表现。则用户 i 对物品 j 的预测得分可以通过式子计算：R[i][j] ≈ P[i,:]Q[j,:].T

二、FunkSVD 算法优劣性分析

FunkSVD 算法是一种有效的协同过滤推荐算法，具有如下优劣性：

1、优点：

（1）可用于处理高维、稀疏的用户数据，能够处理较大规模的用户-物品评分矩阵，适用于大数据场景； （2）和其他算法相比，FunkSVD 算法在准确性上有一定优势，可以提供较为精确的推荐结果；

2、缺点：

（1）需要对矩阵分解中的超参数进行调整，才能够获得最佳的分解效果； （2）FunkSVD 算法在处理冷启动问题（新物品和新用户）时，表现较差。

三、基于 Python 实现 FunkSVD 算法

import pandas as pd
import numpy as np

class FunkSVD:

    def __init__(self, learning_rate=0.01, reg_rate=0.1, n_epochs=100, n_factors=15, verbose=True):
        """
        FunkSVD算法的初始化方法
        :param learning_rate: 学习率
        :param reg_rate: 正则化系数
        :param n_epochs: 迭代次数
        :param n_factors: 隐特征向量维度
        :param verbose: 是否打印训练过程log
        """
        self.learning_rate = learning_rate
        self.reg_rate = reg_rate
        self.n_epochs = n_epochs
        self.n_factors = n_factors
        self.verbose = verbose

    def fit(self, X, val_data=None):
        """
        FunkSVD算法的训练方法
        :param X: 用户-物品评分矩阵
        :param val_data: 验证数据，用于退出训练
        :return: 用户特征矩阵P和物品特征矩阵Q的乘积
        """
        # 初始化变量
        n_users, n_items = X.shape
        self.P = np.random.normal(size=(n_users, self.n_factors))
        self.Q = np.random.normal(size=(n_items, self.n_factors))

        # 训练模型
        for epoch in range(self.n_epochs):
            for i in range(n_users):
                for j in range(n_items):
                    if X[i][j] > 0:
                        error = X[i][j] - np.dot(self.P[i, :], self.Q[j, :].T)
                        self.P[i, :] += self.learning_rate * (error * self.Q[j, :] - self.reg_rate * self.P[i, :])
                        self.Q[j, :] += self.learning_rate * (error * self.P[i, :] - self.reg_rate * self.Q[j, :])

            # 计算验证集误差
            if val_data is not None:
                y_true, y_pred = self.evaluate(val_data)
                val_loss = np.sqrt(np.mean(np.power(y_true - y_pred, 2)))
                if self.verbose:
                    print('epoch %d, val_loss=%.4f' % (epoch + 1, val_loss))

        return np.dot(self.P, self.Q.T)

    def predict(self, u, i):
        """
        预测用户对物品的评分
        :param u: 用户ID
        :param i: 物品ID
        :return: 预测评分得分
        """
        return np.dot(self.P[u, :], self.Q[i, :].T)

    def evaluate(self, test_data):
        """
        评估算法效果
        :param test_data: 测试数据
        :return: 真实值和预测值
        """
        y_true = test_data['rating']
        y_pred = [self.predict(row['userId'], row['movieId']) for i, row in test_data.iterrows()]
        return y_true, y_pred

四、FunkSVD 算法在电影推荐系统中应用实例

FunkSVD 算法可以应用于电影推荐系统中，根据用户对电影的评分得分，建立用户-电影评分矩阵，然后使用 FunkSVD 算法对评分矩阵进行分解，得到用户和电影的特征矩阵 P 和 Q，进而计算出每个用户对未评价电影的评分得分，根据得分得出电影推荐结果。以下是基于 FunkSVD 算法实现的推荐系统代码示例：

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from FunkSVD import FunkSVD

# 读取数据
ratings = pd.read_csv('ratings.csv')

# 将评分矩阵转换为二维矩阵形式
R = ratings.pivot_table(values='rating', index='userId', columns='movieId').fillna(0)

# 划分训练集和测试集
train, test = train_test_split(ratings, test_size=0.2)

# 初始化 FunkSVD 模型
funk_svd = FunkSVD(n_epochs=50, n_factors=30, verbose=True)

# 训练模型
funk_svd.fit(train.pivot_table(values='rating', index='userId', columns='movieId').fillna(0), val_data=test)

# 电影推荐
user_id = 1
user_ratings = ratings[ratings['userId'] == user_id]
user_unseen_movies = ratings[~ratings['movieId'].isin(user_ratings['movieId'])]['movieId'].unique()
recommendations = []

for movie_id in user_unseen_movies:
    rating = funk_svd.predict(user_id - 1, movie_id - 1)
    recommendations.append((movie_id, rating))

# 推荐电影排序并输出
recommendations = sorted(recommendations, key=lambda x: x[1], reverse=True)[:10]
recommended_movie_ids = [rec[0] for rec in recommendations]
recommended_movies = ratings[ratings['movieId'].isin(recommended_movie_ids)]['title'].unique()

print('为用户推荐的电影有：')
for movie in recommended_movies:
    print(movie)

五、小结

FunkSVD 算法是一种有效的协同过滤推荐算法，能够对稀疏高维的用户-物品评分矩阵进行分解，得到用户和物品的特征矩阵，进而计算出每个用户对所有物品的评分得分，用于电影推荐、商品推荐等领域。通过 Python 实现 FunkSVD 算法，并结合电影推荐应用案例，进一步深化了该算法的理解，有助于进一步掌握协同过滤算法的基本原理和应用。