参数估计方法

一、参数估计方法介绍

参数估计方法是指在统计学中用来确定一组未知参数的特定过程。它是指从样本数据中计算参数的方法，如均值、方差、标准偏差等。参数估计方法在统计学中有着广泛的应用，如数据分析、预测、推断等。

二、最小二乘法

最小二乘法是参数估计方法中的一种常见方法，它是指寻找一条曲线，使得该曲线上的点到样本数据点的距离平方和最小。在回归分析中，最小二乘法用于拟合一条直线，使其能够最好地描述数据集的相关性。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([1.5, 3.5, 5.5, 7.5, 9.5])

fit = np.polyfit(x, y, 1)
fit_fn = np.poly1d(fit)

plt.plot(x, y, 'ro', x, fit_fn(x), '--k')
plt.title('Example of Least Squares Regression')
plt.show()

三、最大似然估计

最大似然估计是参数估计中最常用的一种方法之一，它是指在给定某些观测数据的条件下，寻找一个能够最大化这些数据出现的概率的参数值。最大似然估计在机器学习中以及众多其他领域有着广泛的应用。

import numpy as np

def log_likelihood(theta, x, y):
    m = len(y)
    y_pred = x.dot(theta)
    error = y - y_pred
    likelihood = (1 / np.sqrt(2 * np.pi * m)) * np.exp(-(error ** 2) / (2 * m))
    log_likelihood = np.sum(np.log(likelihood))
    return log_likelihood

x = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * x + np.random.randn(100, 1)

X_b = np.c_[np.ones((100, 1)), x]
eta = 0.01
n_iterations = 1000
m = 100

theta = np.random.randn(2, 1)

for iteration in range(n_iterations):
    gradients = 2 / m * X_b.T.dot(X_b.dot(theta) - y)
    theta = theta - eta * gradients

max_log_likelihood = -np.inf
best_theta = None
for epoch in range(1000):
    random_theta = np.random.randn(2, 1)
    log_likelihood_value = log_likelihood(random_theta, X_b, y)
    if log_likelihood_value > max_log_likelihood:
        max_log_likelihood = log_likelihood_value
        best_theta = random_theta

四、贝叶斯调参

贝叶斯调参是一种结合贝叶斯理论和数值优化的参数估计方法，它能够利用先验概率信息来寻找最优的超参数。贝叶斯调参在机器学习中的应用较为广泛，能够有效地提高模型的性能。

from hyperopt import hp, fmin, tpe, Trials
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import cross_val_score

iris = load_iris()
X = iris.data
y = iris.target

space = {
    'C': hp.loguniform('C', -10, 10),
    'penalty': hp.choice('penalty', ['l1', 'l2']),
    'fit_intercept': hp.choice('fit_intercept', [True, False])
}

def hyperparameter_tuning(space):
    model = LogisticRegression(C=space['C'], penalty=space['penalty'], fit_intercept=space['fit_intercept'])
    accuracy = cross_val_score(model, X, y=y, cv=5).mean()
    return {'loss': -accuracy, 'status': 'ok'}

trials = Trials()

best = fmin(fn=hyperparameter_tuning, space=space, algo=tpe.suggest, max_evals=100, trials=trials)

print(best)

五、正则化参数估计

正则化参数估计是指在优化过程中加入惩罚项以防止过度拟合的参数估计方法。通过对模型中的参数进行正则化，可以减小参数的绝对值，从而达到控制模型复杂度的目的。

from sklearn.linear_model import Lasso

lasso = Lasso(alpha=0.1)
lasso.fit(X, y)

print(lasso.coef_)