JAVA求余数：从多个方面详解

一、基本概念

求余数是指将一个数除以另一个数，得到的余数就是它们之间的差。在JAVA中，对于整数类型，可以使用%进行求余数操作：

int a = 10;
int b = 3;
int c = a % b; // c的值为1

上面的代码中，a为被除数，b为除数，%为求余数操作符，c为所求余数。

需要注意的是，当除数为0时，JAVA会抛出ArithmeticException异常。

二、求余数的应用

求余数在编程中有广泛应用，下面介绍几个常见的应用场景。

1. 判断奇偶性

当一个数对2求余数为0时，它是偶数；否则它是奇数。可以使用如下代码来判断一个数的奇偶性：

int num = 7;
if(num % 2 == 0){
    System.out.println(num + "是偶数");
}else{
    System.out.println(num + "是奇数");
}

2. 数字转换

通过对一个整数分解，可以将它转换为不同位置上的数字。比如，一个三位数abc可以表示为100a+10b+c，其中a、b、c分别表示百位、十位和个位上的数字。

由于JAVA中的int类型整数范围为-2^31~2^31-1，可以使用这种方法将6位数字以下的数转换为字符串。例如：

int num = 54321;
int a = num / 10000; // a的值为5
int b = num % 10000 / 1000; // b的值为4
int c = num % 1000 / 100; // c的值为3
int d = num % 100 / 10; // d的值为2
int e = num % 10; // e的值为1
String str = "" + a + b + c + d + e; // str的值为"54321"

三、求余数的优化

对于大规模求余数的问题，可以使用优化算法来加速计算。

1. 模运算规律

当被除数为较大的整数，除数为2的幂时（即除数为2、4、8、16、32等），可以使用模运算规律来提高计算速度。

模运算规律：对于任意一个整数n，如果n = 2^k*m（k为非负整数，m为奇数），则n%2^k = n&(2^k-1)，即n对2^k求余等价于n与2^k-1按位与的结果。

例如，需要计算1314520对8求余的结果，可以使用位运算来优化计算：

int num = 1314520;
int res = num & 7; // res的值为0

在以上代码中，7的二进制表示为111，它与任意一个数按位与的结果就等于该数对8求余的结果。

2. 质数取模

当被除数和除数都是质数时，可以使用费马小定理来进行求余数的运算。

费马小定理：如果p是质数，a是整数且a不是p的倍数，则a^(p-1) mod p = 1。

在以上定理中，^表示幂运算，mod表示模运算（求余数）。

例如，需要计算123456789012345对9973求余的结果，可以使用费马小定理来优化计算：

long num = 123456789012345L;
int a = 9973;
int res = 1;
while(num != 0){
    if(num % 2 == 1){
        res = (res * a) % a;
    }
    a = (a * a) % a;
    num /= 2;
}

在以上代码中，a表示除数，num表示被除数。通过不断对a进行平方运算，然后对结果进行模运算，可以获得a的各个次方数对a求余数的结果。在代码中，res表示累积的结果，初始值为1，每次遇到num的二进制中的1位，即将当前累积的结果乘以对应次方的余数再对a求余。

四、小结

JAVA中求余数是编程中的一个重要操作，涉及到很多方面，如奇偶性判断、数字转换、优化算法等。在处理大规模的求余数问题时，可以采用模运算规律、费马小定理等优化算法来加快计算速度，从而提高程序的效率。