Metropolis算法的原理与应用

一、Metropolis算法求积分

Metropolis算法是一个蒙特卡罗模拟的算法。在计算机模拟的过程中，它的主要作用就是求解高维积分，并且又能够得到它的误差范围，因此也被称为Metropolis-Hastings算法。

def Metropolis(n, f, t, w, start):
    x=start
    naccept = 0
    fstart = f(x)
    sum_f = 0.0
    sum_ff = 0.0
    for i in range(n):
        y = t(x)
        fy=f(y)
        a=w(x,y)*fy/fstart
        if np.random.random(1) < a:
            x = y
            naccept += 1
            fstart = fy
        sum_f = sum_f+fstart
        sum_ff = sum_ff+(fstart**2)
    mean = sum_f/n
    var = (sum_ff/n)-(mean**2)
    std = np.sqrt(var)
    return (mean, std, naccept/n, x)

二、Metropolis算法中文名字

Metropolis算法的中文名字是“大都市算法”，这个名字取自于它的发明者之一Nicholas Metropolis（大都市N. Metropolis，1915-1999），一个美国物理学家。Metropolis算法其实是对贝叶斯方法的一种拟合模拟，它主要用于智能采样、图像处理、金融建模和生物学模拟等领域。

三、Metropolis算法是什么意思

Metropolis算法是一种随机搜索算法，通过采用尝试性的转移从一个状态到另一个状态。在转移状态时，会接受一部分可能造成更差结果的情况，但是这一部分被接受情况的概率随着转移状态而不断减少，到达一定程度后就变成了0。

四、Metropolis算法求伊辛模型

Metropolis算法还被用于求解伊辛模型，它能够通过Metropolis算法的能量函数来求解伊辛模型中某一时刻的状态和它们各自的权重。代码示例如下：

def metropolis_ising(beta , n, l, r_init):
    delta = [-2,0,2]
    steps = l**2*n
    r = r_init
    rnorm = np.linalg.norm(r, ord=2)
    E = energy(r, l)/n
    min_E = E
    min_r = r.copy()
    record_E = np.zeros(steps)
    for i in range(steps):
        a = np.random.randint(0,l)
        b = np.random.randint(0,l)
        dx = delta[np.random.randint(0,3)]
        dy = delta[np.random.randint(0,3)]
        newr = r.copy()
        newr[a,b,0] = r[a,b,0]+dx
        newr[a,b,1] = r[a,b,1]+dy
        newE = energy(newr, l)/n
        dE = newE - E
        if dE<0:
            r = newr
            E = newE
            if E


   
五、Metropolis算法的实现过程

   
Metropolis算法是依靠Markov马尔可夫链来进行实现的。在每次迭代中，都从概率分布中抽取一个随机状态，并计算它的概率分布函数的值。然后，所有状态之间的概率差别是计算的，一个随机数产生，以确定是否以新状态为中心的概率分布函数的值作为下一个状态。流程图如下：

   
1. 初始状态S
2. for i in range(N):执行N次采样操作
    3. 从概率密度函数p(S)中随机抽取一个状态S_k
    4. 假设从一个状态S转移到S_k,接受概率状态为min(1,P(S_k)/P(S))
    5. 以概率a=min(1,P(S_k)/P(S)接受状态转移，否则保留原状态
    6. 记录采样轨迹
    7. 如果在某些情况下不接受S_k,则重新随机一个状态并开始下一次迭代
8. 返回完整的采样轨迹



   
六、Metropolis算法的目的

   
Metropolis算法的主要目的是有效的模拟和抽样过程，同时在解决实际问题时也能够适应于大的维度，让我们以最小的代价找到最优解。Metropolis算法通过不断的采样，使得它得到进一步优化，并且能够适用于一般均值“前缀”预处理和最近邻的加速。


   
七、Metropolis中文

   
Metropolis的中文翻译为“大都市”，这是一个希腊姓氏，这个算法的命名则来自于它的发明者之一Nicholas Metropolis。他们使用蒙特卡罗方法的统计性质，引导并加速反应进程。Metropolis在理解和优化许多物理化学反应动力学中的某些问题上发挥了重要作用。


   
八、Metropolis采样

   
Metropolis采样是基于Metropolis算法的一种随机采样方法，它将给定的分布函数作为采样目标，并将其转换为转移矩阵。转移矩阵中每个元素都表示从一个状态转移到另一个状态的概率。在采样过程中，从当前状态抽取样本，并根据转移矩阵中的概率确定该样本是否接受或拒绝。当样本接受时，系统进入到该样本表示的状态。当样本被拒绝时，保持原来的状态不变。 Metropolis采样具有广泛的应用，比如模拟纯物质的相变，自组织系统模拟等。


   
九、Metropolis算法代码示例

   
下面是使用Python实现的Metropolis算法，用于估计给定函数的平均值和标准偏差。

   
import numpy as np

#定义接受转移矩阵
def w(x, y):
    return 1

#定义转移函数
def t(x):
    y = x+np.random.normal(0, 1, 1)
    return y

#定义函数f(x)
def f(x):
    return np.exp(-x**2/2)/np.sqrt(2*np.pi)

#定义Metropolis算法函数
def Metropolis(n, f, t, w, start):
    x=start
    naccept = 0
    fstart = f(x)
    sum_f = 0.0
    sum_ff = 0.0
    for i in range(n):
        y = t(x)
        fy=f(y)
        a=w(x,y)*fy/fstart
        if np.random.random(1) < a:
            x = y
            naccept += 1
            fstart = fy
        sum_f = sum_f+fstart
        sum_ff = sum_ff+(fstart**2)
    mean = sum_f/n
    var = (sum_ff/n)-(mean**2)
    std = np.sqrt(var)
    return (mean, std, naccept/n, x)

mean, std, accept_ratio, x = Metropolis(1000000,f,t,w,0.0)

print("Mean Estimate",mean)
print("Standard Deviation Estimate",std)
print("Acceptance Ratio",accept_ratio)
print("Final Position",x)