一、VAR模型介绍
Vectro Autoregression Model（简称VAR模型）是一种多元时间序列的处理方法，它能够对多个观测变量之间的相互影响建立动态系统，通过残差协方差矩阵进行样本估计。
VAR模型假定每个时间序列的变量，都可以通过自身滞后值和其他变量的滞后值来进行建模。具体地说，VAR模型假设每个时间序列是其他时间序列的函数。例如，对于双变量时间序列，y1和y2，VAR模型可以表示为：
y1_t = α11*y1_(t-1) + α12*y2_(t-1) + ε_t1 y2_t = α21*y1_(t-1) + α22*y2_(t-1) + ε_t2
其中，ε_t1和ε_t2是误差项，表示因未能考虑其他影响因素而无法解释的变异，而αij表示yj对yi的影响系数。VAR模型通常假设误差项具有白噪声性质，即互不相关、均值为0、方差不变。
二、VAR模型参数估计
对VAR模型的参数 αij，可以通过最小化残差平方和来进行样本估计，常用的估计方法有OLS法、MLE法等。
1.OLS法
最小二乘OLS法是VAR模型估计中最简单和经典的方法之一。用OLS法估计VAR模型应包括以下几个步骤：
（1）构建VAR模型。
#引入模型 from statsmodels.tsa.api import VAR #假设我们有一个三变量时间序列df，可以进行如下操作 model = VAR(df)
（2）对自变量和因变量进行差分处理来满足VAR模型的平稳性要求。
#使用差分后的数据进行分析 diff_df = df.diff().dropna() #针对差分数据进行建模 diff_model = VAR(diff_df)
（3）根据条件 (1) 和 (2) 式的OLS方法来估计VAR模型的系数。
#求解 VAR 模型中的拟合参数结果 results = model.fit(maxlags=15, ic='aic', )
2.MLE法
极大似然MLE法是在给定时间序列数据的基础上，从一个模型族中找出一个最优模型，使得观察到的数据概率最大。
VAR模型的MLE算法估计可以通过以下代码实现：
results = model.fit(maxlags=20, method='ols', ic='aic', ) results = model.fit(maxlags=20, method='ols', ic='aic', )
三、VAR模型的预测
对于已经估计好的VAR模型，我们可以使用它来进行预测。
假设已经拟合好一个有p 阶滞后的 VAR 模型，则该模型可以表示如下：
Y_t = A_1*Y_(t-1) + A_2*Y_(t-2) + …… + A_p*Y_(t-p) + u_t
其中，A_i全是大小为k*k的系数矩阵，u_t是大小为k*1的异方差白噪声序列。
我们可以直接使用ARIMA模型的predict函数来对VAR模型进行预测：
#使用ARIMA模型的predict函数进行预测
#该方法会返回未来isample个时间点的预测值和方差
predict_sample = model_fit.predict(start=test.index[0], end=test.index[-1], dynamic=False)
#进一步处理预测结果
forecast = test.copy()
for col in df.columns:
forecast.loc[:, col] = predict_sample[col]
四、VAR模型的评价
对于VAR模型的评价，有多个指标可供选择，例如：
1.残差统计量检查
残差统计量检查是检测模型是否存在问题的常用办法。可以对估计好的VAR模型进行以下检验：
results.test_causality('y1', ['y2', 'y3'], kind='f')
2.方差分解(Variance Decomposition)
方差分解可以确定每个变量对其它变量的预测贡献度，以评估VAR模型的表现。VAR模型的方差分解可以计算每个变量的波动是由其他变量的波动，还是由本身决定的。方差分解可以使用：
irf = results.irf(periods=10, var_order=6) irf.plot_cum_effects()
3.信息标准检验
信息标准检验也是评估VAR模型表现的一种方法。它可以度量模型的拟合优度。常用的信息标准方法有AIC、BIC等。
results.aic results.bic
五、总结
本文介绍了VAR模型的基本原理、参数估计、预测和评价方法。VAR模型作为一种多变量时间序列的模型，可以很好地描述多个时间序列之间的关系和随时间变化的趋势。然而，在实际应用中，我们仍需注意时间序列数据的平稳性和外生变量的因素对预测结果的影响。
