一、背景介绍
Welch检验用于比较两个独立的样本的均值是否相等，在实际工作中广泛应用。由于常规的Student t检验在两个样本方差不相等时假设可能失效，因此我们需要使用Welch t检验，以更准确地评估两个样本均值差异的显著性。
Welch检验基于较为宽松的假设，即两个样本具有独立性，从从普遍意义上讲，两个样本被视为独立的，当它们采自于不同的总体，或者在本质上是不相关的。
二、检验原理
假设我们有两个独立的样本，分别为X和Y，带有均值和方差，分类别为μX、μY和σ²X、σ²Y。Welch检验的假设如下：
- 总体分布为正态分布
- 两个样本是独立的，这意味着两个样本无应变，且给出的条件是当我们观察到一个样本时，我们不能准确预测另一个样本中的值。
- 两个样本的方差σ²X和σ²Y可以不相等。
Welch t检验实际上是计算不同的标准误差（SE）值。标准误差反映均值真实值与样本均值之间的随机误差。当根据样本大小计算标准误差时，标准误差见于被称为自由度的参数的方差。Welch test计算的标准误差是每个样本中的变化和样本大小的函数，以及两个样本的不同自由度。
计算Welch t检验的方程式如下：
t = (̄X - ̄Y) / 〖√(s²X/nX + s²Y/nY)〗
其中，̄X 和 ̄Y分别是两个样本的均值，s²X和s²Y分别是两个样本的无偏样本方差，nX和nY分别为两个样本的大小。
三、算法流程
给出代码流程，具体使用请参考代码中的注释：
def welch_test(x, y):
# 计算自由度
v1 = len(x) - 1
v2 = len(y) - 1
# 计算标准误差
s1 = np.var(x, ddof=1)
s2 = np.var(y, ddof=1)
se = np.sqrt((s1 / len(x)) + (s2 / len(y)))
# 计算 t 统计量
t_stat = (np.mean(x) - np.mean(y)) / se
# 计算 p 值
df = (s1 / len(x) + s2 / len(y)) ** 2 / ((s1 / len(x)) ** 2 / (len(x) - 1) + (s2 / len(y)) ** 2 / (len(y) - 1))
p = stats.t.sf(np.abs(t_stat), df) * 2
return t_stat, df, p
四、优缺点分析
优点：
- Welch检验允许两个样本的方差不同，因此在实际工作中具有广泛的适用性。
- 当样本大小差异较大时，Welch检验比Student t检验更准确且可靠。
缺点：
- Welch检验的计算较为复杂，需要多次计算，因此对于计算能力较弱的用户可能较为不友好。
- 当原假设为真时，Welch检验可能会因加入估计的自由度，导致一个较高的错误率，这也被视为其不足之处。
五、应用案例
下面我们以Python代码为例，对两个不同网页的访问量数据进行Welch检验，以评估它们的平均页面观测量是否差异显著。
import numpy as np
from scipy import stats
pageA = [10, 5, 8, 7, 6]
pageB = [8, 6, 7, 9, 4, 5, 10]
t_stat, df, p = welch_test(pageA, pageB)
alpha = 0.05
if p > alpha:
print("p-value is", p, ". The difference between the two groups is not significant.")
else:
print("p-value is", p, ". The difference between the two groups is significant.")
六、总结
以上是关于Welch检验的详细解释，包括其原理、优缺点、算法流程、Python代码实现等。通过本文的学习，我们可以更全面地认识Welch检验在实际工作中的应用，为数据分析提供更为准确的评估和判断手段。
