本文目录一览：
- 1、怎样计算三重积分？尽量通俗易懂。
- 2、三重积分的计算方法
- 3、在python中如何求定积分
- 4、三重积分的定义
- 5、三重积分的计算
怎样计算三重积分？尽量通俗易懂。
其实,三重积分,就是把一重积分和二重积分的扩展
三重积分及其计算
一,三重积分的概念
将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数,就得到三重积分的定义
其中 dv 称为体积元,其它术语与二重积分相同
若极限存在,则称函数可积
若函数在闭区域上连续, 则一定可积
由定义可知
三重积分与二重积分有着完全相同的性质
三重积分的物理背景
以 f ( x, y, z ) 为体密度的空间物体的质量
下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法.
二,在直角坐标系中的计算法
如果我们用三族平面 x =常数,y =常数, z =常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体
其体积为
故在直角坐标系下的面积元为
三重积分可写成
和二重积分类似,三重积分可化成三次积分进行计算
具体可分为先单后重和先重后单
三重积分的计算方法
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法
⑴先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
①区域条件：对积分区域Ω无限制；
②函数条件：对f（x,y,z）无限制。
⑵先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
①区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成；
②函数条件：f（x，y，）仅为一个变量的函数。 适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设x2+y2=a2,x=asinθ，y=acosθ
①区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；
②函数条件：f（x,y,z）为含有与x2+y2（或另两种形式）相关的项。 适用于被积区域Ω包含球的一部分。
①区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以；
②函数条件：f（x,y,z）含有与x2+y2+z2相关的项。
在python中如何求定积分
在python中求定积分的方法：1、导入计算积分的sympy包；2、输入“x= symbols("x")”命令定义一个符号；3、定义要积分的函数为“A=integrate(函数，(变量，下限，上限))”即可求定积分。
准备python的运行环境
导入计算积分的模块包from sympy import *
定义一个符号x = symbols("x")
定义要积分的函数
函数的定积分为A = integrate(函数，(变量，下限，上限))
函数的不定积分B=integrate(函数,变量)
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三重积分的定义
设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点（ξiηiζi）作和（n/i=1 Σ（ξiηiζi）Δvi）.如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z）在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dv，即
Ω
∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 （n/i=1 Σf（ξi，ηi，ζi）Δvi），其中dv叫做体积元素。
Ω ∫∫∫‥‥‥三重积分号
f(x,y,z）‥‥‥被积函数
f(x,y,z)dv‥‥‥被积表达式
dv‥‥‥体积元
x,y,z‥‥‥积分变量
Ω‥‥‥积分区域
Σf（ξi，ηi，ζi）Δδi‥‥‥积分和
三重积分的计算
三重积分的计算，首先要转化为“一重积分+二重积分”或“二重积分+一重积分”。
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法：
先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。
区域条件：对积分区域Ω无限制；
函数条件：对f（x,y,z）无限制。
先二后一法（截面法）：先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。
区域条件：积分区域Ω为平面或其它曲面（不包括圆柱面、圆锥面、球面）所围成
函数条件：f（x，y）仅为一个变量的函数。
三重积分特点：
当然如果把其中的“二重积分”再转化为“累次积分”代入，则三重积分就转化为了“三次积分”，这个属于二重积分化累次积分。
与二重积分类似，三重积分仍是密度函数在整个Ω内每一个点都累积一遍，且与累积的顺序无关（按任意路径累积）。当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，三维空间质量值就等于其体积值；当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。
